Lukujono 11 - Muut aiheet - Keskustelut

↶ Takaisin aiheisiin Siirry alalaitaan ↓

6940. Lukujono 11

Olavi Kivalo22.6.2012 klo 11:06

Jaetaan säännöllinen tetraedri osiin n:llä kunkin tahon suuntaisella tasolla. Pikkutetraedrien (T) ja pikkuoktaedrien (O) lukumäärät ovat:
T(n) = (n^3 + 2n)/3
O(n) = (n-1)*n*(n+1)/6

Mitkä ovat vastaavasti kaikenkokoisten tetraedrien ja oktaedrien lukumäärät?

2. Jaska22.6.2012 klo 12:35

Leikkaustasojen välien kaiketi edellytetään olevan kaikissa tahoissa samat? En silti varmuudella bonjaa "kaikenkokoisia." Tarkoittaako "pikku" yhtä kuin pienimmät? Siitä riippumatta jääköön geometrikkojen ratkaistavaksi.

3. Olavi Kivalo22.6.2012 klo 14:35

Tämä on Matin aiemmin määrittelemä ongelma. Se jäi ratkaisematta. Esitin osasaratkaisun.

4. Matti22.6.2012 klo 20:03

Vaikuttaa pahalta. Siis patologiselta. Mutta:

Hyvää Juhannusta pähkäilijöille!

5. Olavi Kivalo23.6.2012 klo 10:59

Hyvää Juhannusta.

Tetraedri on kiehtova kappale. Meillä oli opiskeluaikana mineralogian assistentti, vanhahko mies, jolla oli kaamea ärrävika ja jolle romboedrin lausuminen tuotti suuria vaikeuksia. Häntä kutsuttiin romboedriksi - tietysti. En muista tavanneeni säännöllisen tetran muotoisia kiteitä. Ortisein museon geologisissa kokoelmissa on monia mineraalikiteitä, mm. säännöllisiä oktaedreja, mutta ei tetraedreja. Epäilen, että tetra ei tarjoa atomeille sellaisia kulmia, että mineraalit hakeutuisivat spontaanisti siihen kidemuotoon. On energettisesti edullisempia muotoja: kuutiot, oktaedrit, romboedrit sun muut. Voi toki olla, että olen tuossa väärässä.

Mitä tapahtuu (Matin esittämä ongelma), kun säännöllinen tetra (jokainen taho on tasasivuinen kolmio) jaetaan kappaleisiin kunkin tahon suuntaisella tasolla niin, että tasot leikkaavat kolmioiden sivut n:ään yhtäsuureen osaan, n=1...N? Pohdin tätä ilman muita apuvälineitä kuin kynä ja paperia pari viikkoa samalla kun vaelsin Italian alpeilla. Mikä loistava yhdistelmä fyysistä ja mentaalista treeniä.

Ensimmäinen merkittävä oivallus oli tuo minkä Mattikin toteaa. Jos kutsutaan yksikkötetraksi T(1) ja yksikköoktaksi O(1) niitä, joiden sivun pituudet ovat 1, niin T(2) kostuu neljästä yksikkötetrasta ja yhdestä yksikköoktasta. Kolme tetraa sijaitsee ensimmäisessä kerroksessa ja neljäs muodostaa toisen kerroksen seisten näiden kärkien päällä. Okta sijaitse ensimmäisessä keroksessa neljän tetran väliin jäävässä tilassa. Jos hahmotuskyky ei riitä, niin tämä voidaan todistaa osoittamalla, että T(2):n tilavuus on (4xT(1)+O(1)):n tilavuus. Tätä varten tuli johtaa tilavuuksien lausekkeet. Sen voi tehdä päässä valitsemalla yksi taho lattiaksi ja integroimalla korkeuden yli. Korkeuksien lausekkeet oli hieman hankala johtaa.

Loppu ei ole aivan pässinlihaa, koska T(3):ssa ja sitä korkeammilla n:n arvoilla esiintyy myös kärjellään seisovia tetroja. Hahmotus onnistuu helpoiten valitsemalla yksi tetran tahoista lattiaksi ja tarkastelemalla tetraa ylhäältä tetran kärjen suunnasta. Rakenneosaksi kannattaa valita T(2), koska se sisältää molemmat yksikkörakenteet. T(2):n lattia (tasasivuinen kolmio, jonka sivu on 2) muodostuuu kolmesta T(1):n lattiasta ja niiden väliin jäävästä O(1):n lattiasta. T(3):n lattia (tasasivuinen kolmio, jonka sivu on 3) jakautuu 9:ään yksikkökolmioon. Nämä 9 kolmiota muodostavat 3 osittain limittäin olevaa T(2):n lattiaa eli yhteensä 6 T(1):n lattiaa ja 3 O(1):n lattiaa. Kun T(2) asetetaan tämän alimman kerroksen yksikkötetrojen kärkien varaan, sen lattia muodostaa katon alla oleville kolmelle O(1):lle ja ’lattian’ yhdelle kärjellään seisovalle T(1):lle. Tämän kärjellään seisovan tetran kärki on pisteessä, jossa alakerran O(1):n lattiat kohtaavat.

Nyt hahmotuksen, kun n>3, pitäisi olla paketissa. Yhteenlaskemalla saadaan:
T(n) = 1, 4, 11, 24, 45, 76, ...
O(n) = 0, 1, 4, 10, 20, 35, ...

Viimeinen silaus, jonka tein eilen päästyäni koneen ääreen, on lukujonojen yleinen lainalaisuus. Nämähän saadaan differenssiyhtälöiksi ja ratkaisut annoin edellä. Jätin täydennyksen muille.

6. Olavi Kivalo23.6.2012 klo 11:15

Kun indeksointi ei onnistu tällä välineellä, niin olen käyttänyt edellä ehkä sekaannuttavasti samaa symbolia kahteen tarkoitukseen. Esim. T(n) tarkoittaa sekä tetraa, jonka sivun pituus on n, että lukujonoa, joka kuvaa montako yksikkötetraa T(1) on tetrassa, jonka sivun pituus on n.

Lukujonot voisi nimetä esim. seuraavasti:
t(n) = ... ja o(n) = ...

7. Jaska26.6.2012 klo 22:27

Ei helppo, mutta ei suinkaan mahdoton:

30, 660, 810, 2130, 2550, 5850, ?

8. Wexi26.6.2012 klo 22:37

Puuttuuko tuosta pari lukua välistä (3330 ja 3390)? Noissahan "naapurit" ovat alkulukuja.

9. Jaska26.6.2012 klo 23:43

Oikea huomio. Wexi tarkkana ja minä tapani mukaan päinvastoin, vaikka myös nuo kaksi ovat listassani. Miten jatkuu ja millä perusteella?

30, 660, 810, 2130, 2550, 3330, 3390, 5850, ?

10. Wexi27.6.2012 klo 00:23

Kaiketi 6270. Kutonenhan sinne alkuun vielä kuuluisi? ko. numeroitten "naapurit" ovat alkulukuja. esim. 6 (5 ja 7); 30 (29 ja 31) jne.

11. Jaska27.6.2012 klo 11:11

6270 on oikein, mutta miten Wexi päädyit siihen? Lukujen 5850 ja 6270 välissä luvut 5880 ja 6090 täyttävät niin ikään naapuruusehdon.

12. Wexi27.6.2012 klo 11:30

Huonolla englannin kielen taidolla nuohosin älynkorviketta, ja onko niin, että ko. luvun täytyisi myös kahdennettuna täyttää ehto (alkuluvut naapureina). Esim. 2x5880-1, ei ole alkuluku, kun taas 2x6270-1=12539, sekä 2x6270+1=12541 ovat alkulukuja.

Eli luvun n, sekä luvun 2xn seinänaapurit ovat nähdäkseni alkulukuja.

13. Jaska27.6.2012 klo 12:00

Juuri niin. Jätin tuplaehdon täyttävän luvun 6 tarkoituksellisesti pois.

14. Antti3.7.2012 klo 07:52

5, 9, 14, 19, 26, 31, 38, ?

15. Jaska3.7.2012 klo 10:49

16. Antti3.7.2012 klo 12:30

Niin, Jaska.

17. Jaska6.7.2012 klo 11:58

5, 7, 11, 19, 23, 37, 71, ?

18. Olavi Kivalo10.7.2012 klo 13:02

Saatan palata tuohon Jaskan ongelmaan tuonnempana. Sitä ennen kynin aiempaa kanaa.

Tetraedriongelmassa keskeistä roolia esittää ns. tetraedriluku (kuinkas muuten):
Te(n) = n(n+1)(n+2)/6 = 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, ....

Kun tetra pilkotaan osiin sen tahojen suuntaisilla tasoilla, syntyy pienempiä tetroja (T) ja oktaedreja eli oktia (O). Pienemmillä tetroilla voi olla alkuperäisen tetran kanssa sama (Ts) tai vastakkainen (Tv) orientaatio. Avaruuskuvioiden Ts, Tv ja O lukumäärät n:n funktiona noudattavat kaikki tetraedrilukua Te(n), n=1,2,3,... (Te = 0, kun n<1), kukin omalla tavallaan seuraavasti:

Alkuperäisen kanssa saman orientaation omaavien pienimpien tetrojen Ts1 lukumäärä ts1(n) on
ts1(n) = Te(n) = 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, ...
Seuraavaa kokoa Ts2 on
ts2(n) = Te(n-1) = 0, 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, ...
Ja yleisesti:
tsN(n) = Te(n-N-1) = 0, ..., 0, 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, ...,
jossa s viittaa samaan orientaatioon ja N viittaa alkuperäisen tetran sivun jako-osien lukumäärään, joten nollien lukumäärä on N-1.

Laskemalla yhteen tsS = ts1 + ts2 +...+ tsN saadaan kaikenkokoisten, tämän orientaation omaavien tetrojen Ts lukumäärä n:n funktiona:
tsS(n) = 1, 5, 15, 35, 70, 126, 210, 330, 495, 715, ...
Tämä lukujono on OEIS:ssa (A000332) toisella tapaa määriteltynä.

Alkuperäisen kanssa vastakkaisen orientaation omaavien pienimpien tetrojen Tv1 lukumäärä tv1(n) on
tv1(n) = Te(n-2) = 0, 0, 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, ...
Seuraavaa kokoa Tv2 on
tv2(n) = Te(n-5) = 0, 0, 0, 0, 0, 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, ...
Ja yleisesti:
tvN(n) = Te(n-3N+1) = 0, ..., 0, 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, ...,
jossa s viittaa samaan orientaatioon ja nollien lukumäärä on 3N-1.

Laskemalla yhteen tvS = tv1 + tv2 +...+ tvN saadaan kaikenkokoisten, tämän orientaation omaavien tetrojen Tv lukumäärä n:n funktiona:
tvS(n) = 0, 0, 1, 4, 10, 21, 39, 66, 105, 159, 231, 325, ...
Tätä lukujonoa ei ole OEIS:ssa.

Pienimpien oktien O1 lukumäärä o1(n) on
o1(n) = Te(n-1) = 0, 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, ...
Seuraavaa kokoa O2 on
o2(n) = Te(n-3) = 0, 0, 0, 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, ...
Ja yleisesti:
oN(n) = Te(n-2N+1) = 0, ..., 0, 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, ...,
jossa N viittaa alkuperäisen tetran sivun jako-osien lukumäärään, joten nollien lukumäärä on 2N-1.

Laskemalla yhteen oS = o1 +o2 +...+ oN saadaan kaikenkokoisten oktien O lukumäärä n:n funktiona:
oS(n) = 0, 1, 4, 11, 24, 46, 80, 130, 200, 295, ...
Tätä lukujonoa ei ole OEIS:ssa.

Muitakin lukujonoja saadaan, jos halutaan. Esim laskemalla yhteen kaikki pienimmät tetrat orientaatiosta riippumatta, saadaan aiemmin esittämäni lukujono
tS(n) = ts1(n) + tv1(n) = 1, 4, 11, 24, 45, 76, 119, 176, 249, 340, ...,
joka on OEIS:ssa (A006527) hieman eri tavoin määriteltynä.

Luulisin kynineeni nyt Matin kanan jokseenkin perusteellisesti. Voisi vaikka haudata. Edellä olevaan on kuitenkin saattanut pujahtaa virheitä, joten kritisoida tulee, jos on aihetta.

19. Jaska10.7.2012 klo 13:18

Pisti silmään nuo Pascalista löytyvät luvut, kuten 1, 5, 15, 35, 70, 126... = 4/4, 5/4, 6/4, 7/4, 8/4, 9/4..., missä siis / tarkoittaa yli.

20. Olavi Kivalo10.7.2012 klo 14:49

Kyseinen jono onkin nimetty OEIS:ssa juuri binomikertoimien avulla eli on Binomial[n, 4] = 0, 0, 0, 0, 1, 5, 15, 35, 70, 126, 210, 330, 495, 715, 1001, ...
Tässä on toinen tapa konstruoida sama jono.

21. Olavi Kivalo10.7.2012 klo 14:58

Muuten, olin väärässä mitä tulee luonnossa esiintyvien mineraalikiteiden mahdollisuuteen esiintyä tetrana. On olemassa sulfidimineraali nimeltään (yllättäen) tetrahedriitti. Sen kaava on Cu12As4S13. Se esiintyy seoksena toisen sulfidimineraalin kanssa nimeltään tennantiiitti, jossa arseeni on korvautunut antimonilla Cu12Sb4S13 ja joka myös on tetra. Näissä seoksissa edellinen on dominoiva.

22. Olavi Kivalo12.7.2012 klo 23:17

Antin jono taitaa olla a(n+1) = p(n+1) - p(n)+3 + a(n), jossa a(1)= 5 ja n = 1,2,3,... eli
5, 9, 14, 19, 26, 31, 38, 43, 50, 59, ...

Jaskan jonossa on niin vähän termejä, että vaihtoehtoja lienee useita. Kelpaisiko seuraavaksi termiksi 129?

23. Jaska12.7.2012 klo 23:30

Varmaan kelpaa, mutta ei ole hakemani. Minulla on pieni vipunen, johon arvelin viisaidenkin menevän. Kyse on summista.

24. Olavi Kivalo13.7.2012 klo 00:54

Tuo lukujono on alkulukujen jono, josta on tiputettu tiettyjä peräkkäisten termien ryppäitä. Nämä ryppäät tai oikeammin niitä muodostavien termien summat noudattavat tiettyä lainalaisuutta. Minulla oli virhe tuossa lainalaisuudessa. Täytyy tarkistaa.

25. Antti13.7.2012 klo 09:32

Jaska löysi ilmoittamatta jättäneellä kaavallaan jonooni annettuja lukuja seuraavan luvun, 43.
Olavi Kivalon kautta tuli vielä mainitun kaksi seuraajaa, 50 ja 59.
Olavi Kivalo antoi käyttämänsä kaavan, jossa p:n merkitystä en valitettavasti heti hoksaa.
Käyttämäni kaava:
a(j) = j:s alkuluku + 3*j

26. Olavi Kivalo13.7.2012 klo 10:33

Merkintä p(n) Antin ongelman ratkaisussa on p:s alkuluku (p niinkuin prime). Kaavamme ovat samat. Minun on vain jätetty rekursiiviseen muotoon.

Jos kaikkien alkulukujen jonosta siivotaan pois ne pätkät, joiden päätepisteissä olevien lukujen summa on sama kuin ympäröivien lukujen summa, saadaan jotain Jaskan jonon tapaista.

Esim lukujen 11 ja 19 väliin jää pätkä, jonka päätepisteissä ovat luvut 13 ja 17. Molempien summa on 30, joten pätkä poistetaan. Samoin pätkä lukujen 23 ja 37 välissä poistetaan, koska summa ovat samat eli 60.

Myös lukujen 37 ja 71 väliin jää pätkä, jonka päätepisteissä ovat luvut 41 ja 67. Molempien summa on 108, joten pätkä voitaisiin poistaa.

Kuitenkaan tämä lainalaisuus ei liene se, mitä Jaska on käyttänyt.

Aiemmin antamani luku 129 perustui laskuvirheeseen ja on väärä.

27. Jaska13.7.2012 klo 11:10

OK:n yhteenlaskutapa ei ollut tarkoittamani, vaikka antoikin oikeita summia! Oma ideani selvinnee, kun paljastan knopin:

5, 7, 11, 19, 23, 37, 71, 67, ?

28. Olavi Kivalo13.7.2012 klo 11:23

Jos sovellan esittämääni logiikkaa täsmällisesti, jono alkaisi jo kolmosesta ja näyttäisi tältä:
3, 13, 23, 37, 47, 67, 83, 137, ...

Jos 'pätkäksi' hyväksytään myös sellainen, jonka pituus on 1, sen päätepisteet yhtyvät ja tulisivat lasketuksi kahtena. Tällöin pätkän 5, joka sijaitsee 3:n ja 7:n välissä, päätepisteiden summa on 10=3+7 ja pätkä poistetaan. Tällöin jono alkuosa muuttuu:
3, 7, 17, 31, 53, 67, 83, 137, ...

Kumpaakaan näistä ei löydy OEIS:sta, mutta lieneekö niillä kiinnostavuutta.

29. Jaska13.7.2012 klo 12:43

Oman jononi pienin mahdollinen alkuluku on 5. Jono jatkuu luku luvulta pienimmällä alkuluvulla, jonka summa edellisen kanssa on alkulukukaksosten väliin sijoittuva luku eli niiden summa/2.

5+7 = 12, 7+11 = 18, 11+19 = 30, 19+23 = 42, 23+37 = 60, 37+71 = 108, 71+67 = 138, 67+83 = 150 jne. Sääntö ei siis mahdollista kaikkien välisummien esiintymistä. Seuraava suuruusjärjestyksestä poikkeava pari on 359, 311.

Kiinnostavuus on pitkälti makuasia. Omani olisi hyvinkin kiinnostava, jos voisin todistaa sen jatkuvan äärettömiin:)

30. Olavi Kivalo14.7.2012 klo 09:50

Käyttämäni 'lukujonon kiinnostavuus' lienee perua OEIS:n sivustolta, jossa kehotetaan esittämään lukujono julkaistavaksi, jos katsoo sillä olevan yleistä kiinnostavuutta.

Lukujononi määritelmästä puuttuu täsmennys 'lyhin' (pätkä). Määritelmä kuuluu täsmällisesti näin:
Alkulukujen jono, joka jää, kun kaikkien alkulukujen jonosta eliminoidaan alkupäästä lähtien kukin lyhin sellainen osajono, jonka päätepisteissä olevien lukujen summa on sama kuin niitä ympäröivien kahden luvun summa.

Minulla on hieman vaikeuksia ymmärtää täysin Jaskan jonon logiikkaa. Esim. jos 71:n jälkeen kelpaa 67, niin miksei 7:n jälkeen kelpaa 3?

31. Jaska14.7.2012 klo 11:27

Mielestäni syy ilmenee 12:43 ensimmäisestä kappaleesta, jota et siis lukenut?

32. Olavi Kivalo15.7.2012 klo 09:42

Tämähän on kiusallista. Luin Jaskan viestin ensimmäisen jakeen moneen kertaan, mutta minulla on edelleen hieman vaikeuksia luetun ymmärtämisen kanssa.

Onko 5 lukujonon pienin alkuluku per definitum (se on, koska Jaska sanoo niin) vai tekeekö lukujonon logiikka sitä pienempien esiintymisen mahdottomaksi?

Alkulukukaksoset (twin prime) tarkoittaa kahta alkulukua, joiden erotus on 2. Kuitenkin ymmärrän(?) että Jaska tarkoittaa alkulukukaksosilla jonoonsa kelpuutettua kahta peräkkäistä alkulukua.

Alkulukukaksosten summa on näiden "väliin sijoittuva luku eli niiden summa/2". Tätä ei ole helppo ymmärtää. Kuitenkin 'ymmärrän' (ilmeisesti aivan väärin) että alkulukukaksosten summa/2 on yhtä kuin joku alkulukukaksosten väliin jäävä (luonnollinen) luku.

Näin ollen miksei 13 kelpaa, vaikka 11+13 = 24 ja 24/2 = 12, joka on kaksosten väliin jäävä luku? Olisiko liikaa pyytää vääntämään rautalangasta?

33. Jaska15.7.2012 klo 11:34

Totean muotoilleeni sanalliset selitykseni epäselvästi ja harhaanjohtavasti ("niiden summa/2"). Tarkoitin, että esim. 5+7 = 12 = (11+13)/2. Siis jonon idean suhteen irrelevantti selviö. Pahoittelen sotkua. Mielestäni numeraalisista esimerkeistäni on kuitenkin pääteltävissä jonon idea, eli jonon kahden peräkkäisen luvun summan paikka alkulukukaksosten välissä.

34. Matti26.7.2012 klo 20:39

Löysin mökiltä tyttöjen vanhan Rubickin tetran (jossa siis n=3). Siinä voi tasoja pyöritellä toistensa suhteen neljässä eri orientaatiossa, niin että akselit olivat sivutahkojen normaalien suuntaiset. Sen avulla saatoin todentaa kaikki ne tulokset, jotka Olavi Kivalo aiemmin esitti. Yksimieliriyys oli täydellinen.

Koska muuten asiat Olavi sai valmiiksi, otin vielä tehtäväkseni johtaa suljetussa muodossa olevat lausekkeet tetrojen ja oktien summille n:n funktiona.

Kaikenkokoisten samoin orientuneiden tetrojen lukumäärä on

tsS(n) = (n yli 4) = n(n+1)(n+2)(n+3)/24 = (n^4+6n^3+11n^2+6n)/24.

Kaikenkokoisten vastaisesti orientoituneiden tetrojen lukumäärä oli vähän hankalampi. Piti laskea erikseen kolme tapausta, kun n on muotoa 3k, 3k+1 ja 3k+2. Vähän mystisesti 3k ja 3k+2 -tapaukset johtivat samaan lausekkeeseen, mutta k+1 eri lausekkeeseen.

n=3k: tvS(n) = (n^4+2n^3-5n^2-6n)/72
n=3k+1: tvS(n) = (n^4+2n^3-5n^2-6n+8)/72
n=3k+2: tvS(n) = (n^4+2n^3-5n^2-6n)/72

Ynnälasku tsS(n) kanssa antaa kaikenkokoisten ja molempien orientaatioiden yhteismäärän:

n=3k tai 3k+2: tS(n) = (n^4+5n^3+7n^2+3n)/18
n=3k+1: tS(n) = (n^4+5n^3+7n^2+3n+2)/18

Oktille saadaan kaksi eri lauseketta riippuen siitä onko n pariton vai parillinen:

n pariton: oS(n) = (n^4+4n^3+2n^2-4n-3)/48
n parillinen: oS(n) = (n^4+4n^3+2n^2-4n)/48

Pascalin kolmion binomikertoimet (n yli 3) ja (n yli 4) näyttelivät tehtävässä aivan keskeistä roolia.

Nyt kai tuli kanasta kynittyä se viimeinenkin sulka.

35. Olavi Kivalo1.8.2012 klo 21:57

Vahvistan osaltani Matin lausekkeet. Tuon suljetummaksi en niitä saanut. Tosin oktille on kirjoitettavissa
oS(n) = (2n^4+8n^3+4n^2-8n-3+3(-1)^n)/96

Nämä julkaisemattomat jonot ja niiden suljetut muodot (ja/tai generating functions) voisi tarjota OEIS:lle, jos se kiinnostaa.

36. Olavi Kivalo8.8.2012 klo 15:03

Esittelin tämän tetraedritehtävän OEIS:n keskutelupalstalla varmistaakseni, onko se sattumoisin käsitelty jonkun toimesta jossain. Näyttää siltä, ettei ole. Näinollen tehtävä itse sekä sen ratkaisut ovat originaaleja ja ansaitsevat julkistamisen laajemminkin kuin tällä foorumilla.

Matti, olet lanseerannut tehtävän ja lisäksi tuottanut nuo ratkaisujen suljetut muodot. Mikä on kantasi siihen, että tätä kokonaisuutta tarjottaisiin OEIS.lle?

37. Matti8.8.2012 klo 16:46

Olavi, sinä ratkaisit tehtävän. Oma osuuteni oli kuitenkin aika tekninen.

Puoleltani annan vapaat kädet jonon tarjoamiseen OEIS:lle. Niin, ja suhtaudun hankkeeseen myönteisesti.

38. Antti29.8.2012 klo 04:44

7, 10, 23, 34, 117, 122, ?

39. Olavi Kivalo1.9.2012 klo 09:39

Palaan vielä tuohon Matin kanaan.
Kehitin seuraavat suljetut muodot:

Käänteisesti orientoituneet tetrat
a(n)=(1/72)(-6n-5n^2+2n^3+n^4+4-4*(-1)^(n(mod3)))

Kaikki tetrat
a(n)=(1/18)(3n+7n^2+5n^3+n^4+1-(-1)^(n(mod3)))

Kaikki tetrat ja oktat
a(n)=(1/288)(24^n+124n^2+104n^3+22n^4+7+9(-1)^n-16 *(-1)^(n(mod3)))

Näitä en ole lähettänyt julkaistavaksi. Sen sijaan kanasta (koiranputken tapaan) nouseva kommenttini lukujonoon A000332 julkaistiin eilen.

40. Olavi Kivalo2.9.2012 klo 15:15

Ei aukene Antin jono.
On kuin Mallarmén runo.

41. Antti2.9.2012 klo 22:55

Mallarmén illanistujaisissa keskusteltiin runoista. Jospa minäkään en suoraan sano ratkaisua, vaan annan vihjeen.

Jos q(j) on j:s alkuluku, ratkaisu rakentuu q(j):n ja j:n pohjalle.

42. Olavi Kivalo3.9.2012 klo 12:13

Olin kyllä oikealla alueella. Etsin yhteyksiä alkuluvun ja sen järjestysluvun välille, mutta sellaisia on rajaton määrä.

43. Olavi Kivalo5.9.2012 klo 18:56

Vaikka mielestäni tällaiset forumit eivät ole tarkoitettu kahdenkeskisten viestien vaihtoa varten, seuraava on tiedoksi Matille.

Olen laatinut luonnokset OEIS-formaatissa neljän lukujonon julkaisemiseksi OEIS:ssa. Jonot ovat lanseeraamasi tetraedriongelman ratkaisut. Ennen kuin painan nappulaa 'ready for review by an OEIS editor', on esim. kohtaan 'Comments' vielä mahdollisuus lisätä tekstiä. Katsotko, että nimesi tulisi, tai olisi hyvä, mainita jossain roolissa? Tätä kannanottoa varten voin lähettää luonnokset nähtäväksesi sähköpostina.

44. Matti5.9.2012 klo 21:49

En oikein tunne käytäntöjä tuossa OEIS-julkaisuympäristössä. Eiköhän tähän sovi parhaiten mieli-ilmaisuni: minulle sopivat kaikki vaihtoehdot. Päätä Olavi sinä.

45. Antti7.9.2012 klo 07:34

OEIS-ympäristön jonojen kiinnostavuutta a(j)-jonollani ei näytä olevan.
Siksi jos q(j) on j:s alkuluku,
a(j) *= 2* q^2(j) - j^3

46. Antti7.9.2012 klo 07:38

a(j) = 2* q^2(j) - j^3

47. Olavi Kivalo8.9.2012 klo 19:55

Niinpä näyttää olevan. Tosin q^2(j) tulee kirjoittaa muotoon q(j)^2.

Nyt kiinnostaa vähän tietää, millä perusteella rajattomien vaihtoehtojen joukosta on päädytty tähän nimenomaiseen kaavaan, jossa muuttujina ovat alkuluku ja sen järjestysluku. Kun kaava kirjoitetaan yleiseen muotoon a(j) = t*q(j)^u+v*j^w ja varioidaan kaikkia neljää parametria t,u,v,w, löytyy valittu jono, mutta sitä ennen pitää tietää, että kaavan tulee olla juuri tuota muotoa.

48. Antti8.9.2012 klo 22:24

Tavoitteena oli vain poimia vaihtoehto, jonka keksiminen ei ole ylivoimaista.

49. Olavi Kivalo14.9.2012 klo 00:34

Seuraava tehtävä vaikuttaa kiinnostavalta ja sillä voi tuottaa jonoja, joita ei ole OEIS:ssa.

Valitaan joku vähintään kaksinumeroinen kokonaisluku. Sanotaan 214. Tässä valitussa luvussa on siis kolme numeroa. Suoritetaan seuraava ajatusleikki:
Oletetaan kolme maljaa vierekkäin. Sijoitetaan maljoihin vasemmalta oikealle 2, 1 ja 4 jyvää. Otetaan nuo 2 jyvää ensimmäisenä vasemmalla olevasta maljasta (1) ja sijoitetaan ne yksitellen maljoihin (2) ja (3). Nyt maljoissa on jyviä vasemmalta oikealle laskien 0, 2 ja 5. Viimeinen jyvä meni siis viimeisenä oikealla olevaan maljaan (3).
Otetaan nuo 5 jyvää maljasta (3) ja sijoitetaan ne yksitellen maljoihin (1), (2), (3), (1) ja (2). Nyt maljoissa jyviä vasemmalta oikealle laskien 2, 4 ja 1. Viimeinen jyvä meni siis maljaan (2).
Otetaan nuo 4 jyvää maljasta (2) ja sijoitetaan ne yksitellen maljoihin (3), (1), (2) ja (3). Nyt maljoissa jyviä vasemmalta oikealle laskien 3, 1 ja 3. Viimeinen jyvä meni siis maljaan (3).
Jatketaan samaan tapaan, kunnes ollaan lähtötilanteessa eli viimeinen jyvä menee maljaan (1) ja jyväjakautuma on 2, 1, 4. Todetaan silmukan syntymiseen tarvittavien iteraatioiden lukumäärä.

Mielestäni kiinnostavin vaihe alkaa tästä. Valitaan sopiva (pienehkö) kokonaisluku n. Etsitään ne luvut pienimmästä suurimpaan, joiden silmukat syntyvät n:llä kierroksella. Näistä luvuista syntyy lukujonoja, jotka ovat (luultavasti kaikki) päättyviä. Triviaalina tapauksena mainittakoon yksinumeroiset luvut, joiden silmukan pituus on 1.

50. Olavi Kivalo14.9.2012 klo 10:27

Esimerkiksi n=2. Mitkä ovat ne kokonaisluvut pienimmästä suurimpaan, jotka edellä esitetyllä tavalla käsiteltynä tuottavat silmukan, jonka pituus on 2? Toisin sanoen etsitään lukujonoa a(n,k), jossa n=2 ja k=1,2,3,...

Aloitetaan kaksinumeroisista, joten maljoja on kaksi.
10?
10->01->10 Kyllä (n=2) eli a(2,1)=10
11?
11->02->11->20->11 Ei (n=4)
12?
12->03->21->12 Ei (n=3)
jne.

Tähän mennessä on saatu kasaan vasta lukujonon a(2,k) ensimmäinen termi a(2,1)=10. Mikä on seuraava termi? Ja kuinka jatkuu? Löytyykö joku lainalaisuus?

51. Jukkis14.9.2012 klo 11:21

Jotenkin... keinotekoista. Ei nyt oikein into tähän repeä.

Lieneekö kaikki hiukankin oleelliset lukujonot jo keksitty ja OEIS:ään laitettu?

52. Olavi Kivalo14.9.2012 klo 12:20

Otin tuon lukujonon a(2,k) esille, koska se on triviaalista seuraava ja alustavasti tarkastellen näyttää noudattavan aika simppeliä lainalaisuutta, joten se voi hyvinkin löytyä OEIS:stä jollain muulla tavoin määriteltynä. Väittäisin (tosin ilman näyttöä tähän hätään), että kaikki kakkosta isommilla luupeilla syntyvät jonot ovat vielä tutkimattomia ja niiden lainalaisuuksien löytäminen tarjoaa haastetta.

Ehkä kannattaakin ryhtyä etsimään vaikka jonoa a(3,k) ja sen lainalaisuutta. Ensimmäinen termi on jo annettu edellä a(3,1)=12.

53. Jaska2.10.2012 klo 23:04

Edellinen vaikuttaa sangen työläältä työstettävältä, seuraava omasta mielestäni ei. Annetaan varmuuden vuoksi aika pitkälti siimaa:

0, 1, 2, 3, 1, 1, 3, 3, 5, 9, 9, 1, 2, 1, 2, 5, 8, 7, ?

54. Antti6.10.2012 klo 08:12

Pitkän siiman kierteet eivät sormissani selviä.

55. Jaska6.10.2012 klo 10:55

Osviittaa. Nolla ei esiinny enää toistamiseen. Samoin kolme näkyvissä olevaa kaksi peräkkäistä samaa lukua ovat koko jonon ainoat "tuplat."

56. Antti9.10.2012 klo 04:55

Jaska, myös jotakin siitä lainmukaisuudesta, jolla jonon jäsenet riippuvat edeltäjistään, on mielestäni tarpeellista paljastaa.

57. Matti9.10.2012 klo 16:11

Jaska, myös se lainmukaisuus, jolla jono on määritelty, on mielestäni tarpeellista paljastaa.

58. Jaska9.10.2012 klo 17:33

Jono koostuu jakojäännöksistä.

59. Antti9.10.2012 klo 19:52

j:nnen kokonaisluvun ja j:n jakojäännös

60. Antti9.10.2012 klo 19:54

j:nnen alkuluvun ja j:n jakojäännös piti sanomani

61. Jaska9.10.2012 klo 21:18

Antti äkkäsi alkuvuista taas olevan kyse, ts. jakolaskujen kardinaali/sen ordinaali jakojäännösten jonosta.

62. Antti10.10.2012 klo 04:54

Kahdesta yksinkertaisesta polynomista saadaan

1, 2, 5, 10, 17, 26, 36, 48, 62, 78, 96, 116, ?

63. Matti10.10.2012 klo 14:02

138

64. Antti10.10.2012 klo 15:22

Halautko, Matti, kertoa kaikille, miten oikean tuloksen löysit.

65. A10.10.2012 klo 15:24

Haluatko, piti kysymäni.

66. Matti10.10.2012 klo 17:36

Kuusi ensimmäistä lukua ovat erään 2. asteen polynomin arvot luvuilla 1, 2, 3, 4, 5 ja 6. Kuusi viimeistä lukua ovat erään toisen, edellisestä vain vähän poikkeavan 2. asteen polynomin arvot luvuilla 7, 8, 9, 10, 11 ja 12. Luku 13 antaa tulokseksi 138. Varsin suoraviivainen tehtävä siis.

67. Matti10.10.2012 klo 17:40

Jäi mietityttämään, että oliko Antilla luvuille jokin toinen konstruktio. Kas kun tässä sen edellisen polynomin rooliksi jäi +-0.

68. Jaska10.10.2012 klo 17:54

Minä räknäsin sen näin:

1-0, 4-2, 9-4, 16-6, 25-8, 36-10
49-13, 64-16, 81-19, 100-22, 121-25, 144-28, 169-31

En tosin käsitä, mikä idea tällaisella "sekasikiöllä" on. Jatkuuko jono siis alemman ehdoin hamaan äärettömyyteen vai miten se menee.

69. Antti10.10.2012 klo 18:41

Pahoittelin heti ongelman jätettyäni sitä, että ensimmäinen tuntematon luku tuli toisesta polynomista ja ensimmäisen polynomin osuus oli ratkaisussa +-0.

70. Matti10.10.2012 klo 19:54

Jos alkupätkästä vähennetään 1, saadaan 0, 1, 4, 9, 16, 25. Jos loppupätkään lisätään 0, 1, 2, 3, 4, 5 saadaan 36, 49, 64, 81, 100, 121. Alku on sama kuin Jaskalla. Loppukin olisi sama, jos Jaska olisi käyttänyt yhtä pykälää suurempia neliöitä.

71. Matti10.10.2012 klo 22:54

Korjaus: alussa Jaska olisi voinut käyttää yhtä pykälää pienempiä neliöitä.

72. Antti24.10.2012 klo 11:01

Onkohan inhimillinen kysymys, minkä kolmen kolmannen asteen vakiotermittömän polynomin mediaaneja seuraavassa luetellaan?

36, 120, 243, 384, 525, 540, 455, 240, -36, ?

73. Jukkis24.10.2012 klo 12:01

Mikä on "polynomin mediaani"?

74. Antti24.10.2012 klo 12:22

Kolmen polynomin tietyllä kokonaisluvulla saaman kolmen arvon mediaani

75. Jukkis24.10.2012 klo 13:04

Aha. Siis on polynomit p1(x), p2(x) ja p3(x) ja on laskettu niiden arvoja ilmeisesti kokonaisluvuilla x = 1, 2, 3, ... (vai 0, 1, 2, ... vai jotain muita lukuja?) ja sitten aina poimittu saaduista luvuista suuruusjärjestyksessä keskimmäinen?

Onko vastauksen selville saaminen jotenkin palkitsevaa tyyliin "Ahaa, olipas jännä juttu"? Epäilen että ei.

76. Antti24.10.2012 klo 13:24

Jos lähtökohtana olisi x=0, ensimmäisenä mediaanina olisi 0. Lähdetään siis 1:stä liikkeelle. Pidän hyvänä saavutuksena, jos joku tämän yhdeksän tuntemattoman asetelman selvittää.

77. Jukkis24.10.2012 klo 15:15

Ootko ihan varma että nuo sun luvut on oikein? Yritin Excelillä hakea kokonaislukuja a, b ja c niin että olisi 3a+9b+27c=243. Ei löytynyt siltä lukualueelta, jota kokeilin.

Millä välillä niiden polynomien kertoimet on?

Haasteenahan tässä on se, että miten tehtävää lähtee ratkaisemaan ja onnistuuko ratkaiseminen. Eihän se vastaus varmaankaan sitten ole kiinnostava.

78. Antti24.10.2012 klo 15:26

Pienin kerroin on -5 ja suurin 40.

79. Jukkis24.10.2012 klo 15:30

Edellinen havaintoni ("Ei löytynyt...") oli ajatusvirheen tulosta. Ehkä jossain välissä ajattelen lisää.

80. Jukkis24.10.2012 klo 19:23

Olisko nämä:

-3x^3 + 36x^2
-4x^3 + 35x^2 + 5x
-5x^3 + 40x^2 + 30x

81. Antti24.10.2012 klo 21:09

Toinen ja kolmas polynomi oikein.

82. Jukkis24.10.2012 klo 21:14

On se ekakin oikein. On sitten vissiin muitakin ratkaisuja.

83. Antti25.10.2012 klo 06:50

Onhan ensimmäisesikin oikein. Ensimmäisenäni oli saman tuloksen antava -3x^3+30x^2+6x. Jonossa viimeisenä annettua lukua seuraa -450. Hyvin suoritettu, Jukkis.

84. Jukkis25.10.2012 klo 07:57

Eihän tuo sinun -3x^3+30x^2+6x ollenkaan anna haluttua tulosta. Tarkista laskelmasi.

85. Antti25.10.2012 klo 11:48

Olet oikeassa, Jukkis. Kiitos. Kaavanani oli vahingossa
-3x^3+30x^2+6x^2.

86. Jukkis25.10.2012 klo 12:55

Tämä oli lopulta sitten ihan kiva tehtävä, vaikka aluksi epäilin että ei mitään järkeä. Aikamoisen Excel-hässäkän avulla sain vastauksen haettua.

87. Antti26.10.2012 klo 16:54

0, 2, 2, 0, 10 7, 0, 24, 15, 0, 44, 26, ?

88. Matti27.10.2012 klo 17:58

Tässä vuorottelee kolme polynomia: nollajono, eräs toisen asteen polynomi, ja eräs toinen toisen asteen polynomi. Niiden kertoimien laskeminen on aivan rutiininomaista.

89. Antti27.10.2012 klo 20:27

Jonoa en kuitenkaan ole laatinut tältä pohjalta. Jono on myös eräiden jakojäännösten jono. Kiinnostaako katsoa, minkä jakojäännösten?

90. Matti28.10.2012 klo 18:04

Joo, kiinnostaa! Aina välillä käy niin, että konstikkaasti muotoillulla jonolla onkin aiottua paljon simppelimpi rakenne, ja yhteyden selvittäminen voi olla ihan hauska tehtävä.

91. Antti31.10.2012 klo 06:39

Jonon j:s jäsen on tietyn j:stä riippuvan summan ja tietyn toisen j:stä riippuvan summan jakojäännös.

92. Antti1.11.2012 klo 11:09

a(j) = 1+2+...+j, j=1,2,...
b(j) = 1^2+2^2+...+j^2 j=1,2,...
Jonon j:s jäsen on b(j):n ja a(j):n jakojäännös. j=1,2,...

93. Jaska1.11.2012 klo 12:47

Simppeli ratkaisu, mutta eilinen määritelmä ehkä tulkinnanvarainen. Mielestäni riippuvuutta kuvaa paremmin j+1, siis yhteenlaskettavien lukumäärä jaettavassa ja jakajassa.

94. Jukkis1.11.2012 klo 19:26

Saihan tästäkin hiukka kiinnostavan tehtävän kun vähän pohti asiaa.

Koska
a(j) = j*(j+1)/2
b(j) = j*(j+1)*(2j+1)/6
niin jakolaskun tulos on
b(j)/a(j) = (2j+1)/3

Kun j = 1, 2, 3, ... niin tämän jakojäännös menee
0, 2, 1, 0, 2, 1, 0, 2, 1, ...

Joten jakolaskun b(j)/a(j):n jakojäännökset saadaan kertomalla tuon edellisen jonon j:s termi a(j):llä.

Koska a(j) = j*(j+1)/2, voi Antin jonon lausua vaikka näin:

c(j) = 0, kun j = 1, 4, 7, ...
c(j) = j*(j+1)/3, kun j = 2, 5, 8, ...
c(j) = j*(j+1)/6, kun j = 3, 6, 9, ...

Eli juuri sitä, mitä Matti sanoi 27.10.2012 klo 17:58.

95. Matti1.11.2012 klo 22:57

Minäkin mietiskelin noita summia eilen illalla. b(j)/a(j)-tapauksen hylkäsin heti, sillä siinähän jakojäännökset ovat 0,2,1,0,2,1, ... Menin siinä vipuun, kun ajattelin että kun kerran b(j)/a(j)=(2j+1)/3, niin myös jakojäännökset yhtälön molemmillla puolilla ovat samat. Eivät ole :-) Antin jono on siis jonojen a(j) ja 0,2,1,0,2,1, ... tulo.

Mutta nyt onkin helppo jatkaa seuraavaa jonoa: 0,10,0,120,220,0,280,0,1140,1540, ...

96. Antti2.11.2012 klo 02:56

a(j) = 10*(1^2+2^2+...+j^2) j=1,2,...
b(j) = 30*(1^4+2^4+...+j^4) j=1,2,...
Jonon j:s jäsen on b(j):n ja a(j):n jakojäännös. j=1,2,...

Siis jatko on 0, 1300, 0, 4060, 4960, 0, ...

97. [Matias-Myyrä]2.11.2012 klo 08:08

[Kun joku mainitsee kolmannen asteen polynomin, minä poistan varmistimen aseestani! ;-D]

98. Jukkis2.11.2012 klo 11:29

Eikö se ase mene ainakin hiukka pilalle kun siitä poistaa varmistimen?

Kun ei ole asetta saatavilla, niin en tiedä kuinka käy kun siitä poistaa varmistimen:

Tuleeko aseesta vaarallinen, eli liipasimesta kun painaa, niin laukeaa? Tietysti edellyttäen että on ladattu.

Vai tuleeko aseesta vaaraton, eli varmistimen poiston jälkeen liipasin on lukittuna samalla tavalla kuin silloin kun varmistin on vielä aseessa paikallaan ja asennossa "varmistettu"?

Vai onko niin että vaikutus riippuu siitä, missä asennossa se varmistin on silloin kun se aseesta poistetaan?

Luulisi että asevalmistajat olisivat tehneet aseet niin, että turvallisin vaihtoehto toteutuu, kun noita varmistimen poistajia on ainakin 1930-luvulta lähtien ollut liikkeellä.

99. Jaska2.11.2012 klo 11:48

Seuraavassa toisen ja kolmannenkin asteen yhteys!

1, 0, 4, 0, 9, 0, 16, 0, ......

100. Matti2.11.2012 klo 13:51

Ja tässä ensimmäisen ja kolmannen asteen yhteys:

0, 0, 0, 0, 0, ...

101. Jukkis2.11.2012 klo 16:35

Eilen tuli kirjoitettua höpöjä klo 19:26.

Ei
"jakolaskun b(j)/a(j):n jakojäännökset saadaan kertomalla tuon edellisen jonon j:s termi a(j):llä"
vaan
"... kertomalla tuon edellisen jonon j:s termi a(j)/3 :lla"

102. Antti6.11.2012 klo 07:23

1, 3, 16, 37, 106, 151, 268, 337, 502, 811, 928, ?

103. Jaska6.11.2012 klo 11:47

1333

104. Antti6.11.2012 klo 12:59

Oikein, Jaska! Kerrotko,miten ratkaisit?

105. Jaska6.11.2012 klo 13:16

Alkuluvut toiseen miinus 3, 6, 9, 12, 15.... 37^2 - 36 = 1333. Hetken jos toisenkin kyllä hämäsi vihjejonon joka toinen alkuluku, mikä lienee ollut tarkoituskin.

106. Antti13.11.2012 klo 12:37

Ratkaisuni, kuten Jaskankin, on
a(k) = k:s alkuluku toiseen korotettuna - 3*k

107. Matti16.11.2012 klo 12:46

Finlandia-ehdokkaat on taas valittu, ja nyt kuuden joukkoon mahtui jo kaksi miestäkin. Viime vuonnahan kaikki olivat naisia. Ehkä jo ensi vuonna kumpaakin sukupuolta on yhtä monta.

Vaan kumpi on todennäköisempää, se että sukupuolijakautuma on 3-3 vai se, että se on 4-2?

108. Antti17.11.2012 klo 07:43

Ensin mainittu, ellei kumpaakaan sukupuolta suosita.

109. Jaska17.11.2012 klo 11:57

Jos tulkitsen Mattia oikein, on Antti matemaattisesti väärässä, vaikka raadin kriteerit täyttävien kirjojen tekijöiden sukupuolijakauma olisi tasan. Siinä tapauksessa, että raati päätyy myös ehdolle pantavien tasajakoon, on 3-3 jakauman todennäköisyys tietenkin 1. Raadin päätöksen todennäköisyyttä on kuitenkin kutakuinkin mahdotonta arvioida tässä vaiheessa.

110. Jaska17.11.2012 klo 12:10

Jäi mainitsematta, että lopulliseen ehdokassekstettiin tulee olla vähintään kuusi ehdokasta kumpaakin sukupuolta. Raadin luettavia uutuuksia on kuitenkin paljon enemmän.

111. Matti17.11.2012 klo 14:09

Tarkoitin tätä kuutena kolikonheittona, joissa sekä kruunun että klaavan todenn. on 1/2.

112. Antti17.11.2012 klo 16:07

Tältä pohjalta sain vastaukseni, Jaskan vääräksi ilmoittaman.

113. Matti17.11.2012 klo 17:12

Antti, sulla on tossa huolimattomuusvirhe.

114. Antti17.11.2012 klo 17:39

Laskin eri vqihtoehdoille seuraavat todennöisyydet:
3 - 3: 20/64 ,
2 - 4 ja 4 - 2: 15/64,
1 - 5 ja 5 -1: 6/64,
0 - 6 ja 6 - 0 1/64,
yhteensä (20 + 30 + 12 + 2)/64 = 64/64 =1
Missä on virheeni? Olisiko pitänyt ottaa vaihtoehdoiksi
3 - 3 ja 2 - 4 tai 4 - 2?

115. Matti17.11.2012 klo 19:19

Joo, olisi. "Kumpi on todennäköisempää, se että sukupuolijakautuma on 3 - 3 vai se, että se on 4 - 2"? Tai tätä ainakin tarkoitin.

Tehtävän juoni (jos tässä sellaista ylipäätään oli) oli se, että luonnollisin sukupuolijakautuma on 4 - 2 eikä, kuten luulisi, 3 - 3.

116. Matti17.11.2012 klo 19:49

Entä jos todennäköisyydet eivät olekaan 1/2 ja 1/2, vaan p ja 1-p, niin kumpi sukupuolijakautuma silloin on todennäköisempi, 3 - 3 vai 4 - 2?

117. Antti17.11.2012 klo 23:51

4 - 2

118. Antti18.11.2012 klo 10:46

Täsmällisemmin ilmaistuna 4 - 2 tai 2 - 4
aina kun 0 < p < 1.

119. Matti18.11.2012 klo 11:40

Joo, noin se menee.

120. Antti25.11.2012 klo 16:32

a(n) = (2*n-7)/(3*n+2) n = 1, 2, 3, ...
Osoita, että a(n+1) > a(n) jokaisella n:n arvolla.
Mikä on jonon raja-arvo n:n kasvaessa rajatta?

121. Matti25.11.2012 klo 20:13

Tää on ihan standardi:
(2n-7)/(3n+2) = 2/3 - 25/(9n+6). Raja-arvo on 2/3.

122. Antti26.11.2012 klo 04:10

Yhtälöstä näkyy, että a(n) on aidosti kasvava, vähennetäänhän 2/3:sta n:n kasvaessa yhä pienempiä ja pienempiä lukuja.

123. Matti16.12.2012 klo 19:58

Paneudutaan hetkeksi loton ihmeelliseen maailmaan. Millä todennäköisyydellä oikeat numerot ilmestyvät suuruusjärjestyksessä: ensimmäinen arvottu numero on rivin pienin, toinen toiseksi pienin jne, ja seitsemäs on suurin. (Tämä ei ole paha. Pidätellään ratkaisua pari päivää niin, että halukkaat voivat miettiä. Sanotaan vaikka hep, kun ratkee.)

124. Jaska16.12.2012 klo 20:54

hep.

125. Matias-Myyrä16.12.2012 klo 22:11

hep.

126. Wexi16.12.2012 klo 22:14

help:-)

127. Jukkis16.12.2012 klo 22:39

Hep.

128. Matti16.12.2012 klo 23:05

On vanha jengi koossa taas. Olavi taitaa olla ulkomailla.

129. Jukkis18.12.2012 klo 09:35

Minä rupesin tietysti tämän kanssa muodostamaan heti hillittömiä kombi- ja permutaatioita ja niiden summia ja suhteita. Sitten huomasin että ehkä kannattais ajatella ensin. Sitten ajattelin. Hyvä pähkinä.

130. Matias-Myyrä18.12.2012 klo 11:27

Sama juttu mulla. Ensin läksin hakemaan liian vaikeasti. Tuo lottohomma harhautti. Lopulta hyvin yksinkertainen pulma.

131. Matti18.12.2012 klo 12:57

Kysytty todennäköisyys on 1/5040. Seitsemän eri numeroa voidaan järjestää riviin 5040:llä eri tavalla. Vain yksi niistä on suuruusjärjestys pienimmästä alkaen. 5040 = 7! = 1*2*3*4*5*6*7. Tämän kaikki hepitttäjät tietysti hoksasivat. (Onkohan lottohistorian aikana koskaan näin käynyt, mene ja tiedä.)

132. Jaska18.12.2012 klo 15:33

Ei sitä ainakaan kukaan ole Veikkaus Oy:ssä tietääkseni tutkinut. Pallojen putoamisjärjestys löytyisi kyllä arvontapöytäkirjoista, jos joku haluaisi ja saisi luvan ne kaikki (vajaat 1700 kpl) käydä läpi.

133. Jukkis18.12.2012 klo 15:48

No seuraava pähkinä tietysti on laskea, mikä on sen todennäköisyys, että pallot on vähintään kerran tulleet numerojärjestyksessä. Tai eipä tuo kummoinen pähkinä ole, ihan tod.näk.lask. perusjuttu. Tulos kertoo, että saattaapa olla näin käynyt. Taikka sitten ei.

134. Matias-Myyrä18.12.2012 klo 15:59

Tuossa pitää ottaa huomioon, että Loton ensimmäisinä vuosina arvottiin vain 6 numeroa (40:stä).

135. Matias-Myyrä18.12.2012 klo 16:02

Muistatteko lauletun mainoksen: "Rahapeli Lotto antaa voiton onnenluvuillaan, kuusi neljästkymmenestä joka viikko arvotaan"

136. Jukkis18.12.2012 klo 17:39

Jos pyöristellään lukuja ja oletetaan että 500 ekassa lottoarvonnassa arvottiin 6 numeroa ja sen jälkeen 1700 arvonnassa 7 numeroa, niin päätyykö muut tulokseen, että todennäköisyydellä 0.64 vähintään kerran pallot on tulleet numerojärjestyksess?

137. Matias-Myyrä18.12.2012 klo 18:31

Joo, aika lähelle 500 kertaa arvottiin 6 numeroa. Eka kierros oli 1/71 ja viimeinen 39/80. Sen jälkeen on arvottu 7 numeroa.

138. Matti18.12.2012 klo 20:27

Sain Jukkiksen tavoin 0,6438.

139. Jaska18.12.2012 klo 21:54

Seuraava 7/39-loton riveihin liittyvä jono on ehkä liiankin vaikea, mutta esitän yhtä kaikki pähkäiltäväksi. Mitä ovat jonon luvut?

1, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 21, 28, 38, 49, 65, ..........

140. Olavi Kivalo19.12.2012 klo 10:50

Matin ongelmanmäärittely oli kuin eräs koululaisvitsityyppi "Mikä on nelijalkainen ja laulaa titityy?" Talitintti - ja nelijalkainen on hämäystä.

Tehtävästä tuli mieleen, kun parikymentä vuotta sitten opetin lapsille entropiaa tilastolliselta pohjalta (joka osoittautui menestyksekkääksi lähestymistavaksi). Laadin animaation, jossa 8 kirjainta ENTROPIA sai satunnaisesti vaihtaa paikkaansa. Keskeytin animaation mielivaltaisilla hetkillä tietäen, että todennäköisyys on äärimmäisen pieni sille, että pysähdyshetkellä kirjaimet olisivat alkuperäisessä järjestyksessä, vaikka jokainen järjestys on yhtä todennäköinen.

Tuo animaatio on lähempänä lottoarvontaa kuin stattinen permutaatio. Voitaisiin kysyä esim, millä todennäköisyydellä sana ENTROPIA ilmaantuu, kun poimitaan, sanotaan, joka kymmenes ilmaantuva permutaatio.

141. Jaska19.12.2012 klo 11:29

Riippuu siitä, kuinka monta kertaa poimitaan.

Eilisen 21:54 jonon luvut ovat määrättyihin osajoukkoihin kuuluvien lottorivien lukumääriä. Osajoukkoja on kaikkiaan 225.

142. Jaska20.12.2012 klo 15:49

Rinnakkaisjonon ensimmäinen luku on 28. Siis mikä?

143. Jaska21.12.2012 klo 22:14

...ja viimeinen 252.

144. Jaska23.12.2012 klo 12:03

Joten kyseessä ovat 7/39-loton numeroiden summat ja niiden lukumäärät. Symmetrisessä lukumääräjonossa on siis 252-28 = 225 lukua.

145. Matti26.12.2012 klo 19:12

Jaska esitteli yllä jonon 1, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 21, 28, ... jossa on siis 252-27=225 lukua. Jono on keskikohtansa suhteen symmetrinen, palindromi, ja päättyy siis ... 28, 21, 15, 11, 7, 5, 3, 2, 1, 1. Luvut kasvavat keskivaiheilla melko suuriksi, sillä niiden summa on 15380937, kaikkien lottorivien lukumäärä.

Jono on erästä proseduuria käyttäen määritettävissä Excelillä aika yksinkertaisesti. Mutta suljetussa muodossa en onnistunut laatimaan niille lauseketta? Liekö sellaista olemassa? Miten Jaska määritit luvut? (Jaskan viimeisin luku oli 65, sitten jatkuu 82, 105, 131, ...)

146. Jaska26.12.2012 klo 23:35

Ei kai näille ainakaan kovin yksinkertaista lauseketta ole laadittavissa. Minä laskin summat kynällä, paperilla ja pöytälaskurilla. Aikaa en ottanut, mutta julmetusti sitä kului. Ehkä viiden tunnin hujakoilla. Jonon keskiarvosumman 140 rivien lukumäärä on 219489.

Laskin nuo joskus 90-luvun lopulla, kun eräs insinööri, jonka nimeä en muista, esitteli Ilta-sanomissa keksintönään lottorivien "geometriset summat." Niiden piti parantaa oikein mullistavasti voitonmahdollisuuksia. No sehän oli tietysti täyttä matalinta vaskipuhallinta. Epämääräisestä jutusta päättelin, että kyseessä oli tämä summajono. Minusta se ei kuitenkaan ole geometrinen, symmetrinen siis kylläkin.

147. Matti27.12.2012 klo 15:23

Jaska, ihan mielenkiintoista juttua.

148. Olavi Kivalo27.12.2012 klo 23:45

Kuvittelin päässeeni jyvälle Jaskan jonon kaavasta, mutta se antaa termejä, jotka poikkeavat annetuista. En ole löytänyt vielä virhettä omastani.

Jononi alkaa näin:
1, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 21, 28, 37, 47, jne.

Palaan asiaan.

149. Jaska28.12.2012 klo 13:40

Tsekkaan summat 38 ja 39. Alkuperäiset laskupaperit ovat kadonneet, tuloslista on jäljellä. Ainakin lyöntivirheet siinä ovat tietysti mahdollisia, vaikka muistaakseni summien summaksi sain 15380937.

150. Jaska28.12.2012 klo 14:09

Sain summat 36 ja 46!? Varmalta siis näyttää, että listassani on virheitä. Katsotaan vielä summien summa.

151. Jaska28.12.2012 klo 14:50

Sain kaksi kertaa tuloksen 15380941, siis +4 oikeasta. Se ei stemmaa minun eikä OK:n saamiin summien 38 ja 39 lukumääriin, huoh. Täytyy nuo kaksi räknätä uudelleen, nyt huolellisesti.

152. Jaska28.12.2012 klo 15:32

Huolellinen laskenta antoi summat 36 ja 47. Näillä luvuilla summien summaksi tulee 15380937. Arvoitukseksi jää, miten virheeni listaan syntyivät, ja onko jonossa muita, toisensa kumoavia virheitä.

153. Jukkis28.12.2012 klo 15:50

Hiukka nyt sitten ihmetyttää se kun Matti sanoi generoineensa tuon Jaskan alkuperäisen virheellisen jonon aika yksinkertaisesti Excelillä. Vähä outoa. Vai jäikö Matilta vaan huomaamatta Excelin antaman jonon ja Jaskan jonon ero?

154. Jaska28.12.2012 klo 16:20

Huolellinen pitäisi olla myös termeissä. Kyse oli siis siis summista 38 ja 39, ja niiden lukumääriksi sain tarkistuslaskennassa 36 ja 47. Odotellaan vielä OK:n varmistusta.

155. Olavi Kivalo28.12.2012 klo 17:04

Löysin virheeni. Rehabilitoitukaa oi joulun tähtöset. Kaikki tähän asti annetut luvut täsmäävät omieni kanssa

Haluaisin mieluusti kuulla Matin 'eräästä proseduurista' ennenkuin jatkan kohti suurta yhtenäisteoriaa.

156. Jukkis28.12.2012 klo 17:27

Tutkittuani tätä
mathworld.wolfram.com/SubsetSumProblem.html
tulin siihen tulokseen että pitää laskea tulo
(1+yx)(1+yx^2)(1+yx^3)...(1+yx^38)(1+yx^39).

Saadusta lausekkeesta katsotaan, mikä x:n polynomi tulee y^7:n kertoimeksi. Haettu lukujono = tuon polynomin kertoimet.

On sen verran hillitön tuo kertolasku, että eihän sitä käsin tee. Jollain symboliseen laskentaan pystyvällä ohjelmalla varmaan menee. Mutta ei sieltäkään varmaan kysyttyä asiaa saa, eli jonon n:nnen termin lauseketta. Että odotellaan OK:n selvitystä.

157. Jaska28.12.2012 klo 17:51

Käsipelillä ja yhteenlaskulla lukumääräjono siis aikoinaan minulla muotoutui. Perusperiaate oli käyttää saatuja tuloksia seuraavan ynnäyksen pohjana. Yhteenlaskuja koneella taisi tulla jokunen tuhat, niin kuin myös pelkästään päässäkin. Yksi rivi kerrallaan käsipelillä olisi tietysti aivan mahdoton projekti.

158. Jukkis28.12.2012 klo 18:10

Matlab osasi tuon polynomitulon laskea symbolisesti. Sieltä saa poimittua jonon:

1, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 21, 28, 38, 49, 65, 82, 105, 131, 164, 201, 248, 300, 364, 436, 522, 618, 733, 860, 1009, 1175, 1367, 1579, 1824, 2093, 2400, 2737, 3118, 3535, 4004, 4514, 5083, 5701, 6386, 7126, 7943, 8821, 9784, 10817, 11943, 13146, 14452, 15841, 17341, 18932, 20642, 22448, 24382, 26417, 28586, 30861, 33275, 35798, 38466, 41243, 44167, 47201, 50382, 53670, 57105, 60642, 64321, 68096, 72007, 76004, 80130, 84329, 88645, 93022, 97502, 102026, 106638, 111275, 115982, 120694, 125456, 130200, 134974, 139705, 144442, 149113, 153765, 158324, 162841, 167238, 171567, 175750, 179840, 183758, 187560, 191164, 194628, 197872, 200955, 203796, 206458, 208859, 211064, 212993, 214712, 216143, 217354, 218267, 218953, 219336, 219489, 219336, 218953, 218267, 217354, 216143, 214712, 212993, 211064, 208859, 206458, 203796, 200955, 197872, 194628, 191164, 187560, 183758, 179840, 175750, 171567, 167238, 162841, 158324, 153765, 149113, 144442, 139705, 134974, 130200, 125456, 120694, 115982, 111275, 106638, 102026, 97502, 93022, 88645, 84329, 80130, 76004, 72007, 68096, 64321, 60642, 57105, 53670, 50382, 47201, 44167, 41243, 38466, 35798, 33275, 30861, 28586, 26417, 24382, 22448, 20642, 18932, 17341, 15841, 14452, 13146, 11943, 10817, 9784, 8821, 7943, 7126, 6386, 5701, 5083, 4514, 4004, 3535, 3118, 2737, 2400, 2093, 1824, 1579, 1367, 1175, 1009, 860, 733, 618, 522, 436, 364, 300, 248, 201, 164, 131, 105, 82, 65, 49, 38, 28, 21, 15, 11, 7, 5, 3, 2, 1, 1.

Eli ilmeisesti sama kuin Matin Excelillä saama. Ja ehäpä sama kuin Jaskan alkuperäinen. Että Jaskalla on vissiin nyt tarkistus mennyt pieleen.

159. Matti28.12.2012 klo 18:59

Jaskan antama jonon alku oli 1, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 21, 28, 38, 49, 65, ... Tässähän on kaikki oikein!? Näin ainakin sain sekä käsin laskien että Excelillä. (Itsekin yritin konstruoida polynomia, jonka kertoimet olisivat olleet kyseinen jono, siinä kuitenkaan onnistumatta.)

Se Excel-lasku on siis käsitteellisesti simppeli ja suorituksena mekaaninen, mutta pirun työläs. Mitä pitemmälle lukuija laskee, sitä työläämmäksi menee. En laskenut koko sarjaa, ainoastaan 30 ensimmäistä termiä (viimeinen 1579). Minulla on tunne, että Jaskan laskut ovat noudattaneet samaa ajatusta.

Proseduuri on rekursiivinen, ja näin se menee: jos lottorivissä numeroita olisikin vain 2 eikä 7, saataisiin jono 1,1,2,2,3,3,4,4,5,5, ... , kuten on helppo todeta. Kirjoitetaan tämän alle sama jono uudelleen, mutta 3 pykälää oikealle siirrettynä 0,0,0,1,1,2,2,3,3, ... Sitten taas mutta 6 pykälää oikealle siirrrettynä, ja sitten 9 ja 12 jne. Jatketaan kunnes tullaan oikeaan laitaan. Sitten rivit summataan. Saadaan 1,1,2,3,4,5,7,8,10,12,14, ... Tämä jono olisi tuloksena, jos lottoriviin kuuluisi 3 eikä 7 numeroa.

Tämän alle kirjoitetaan sama jono, mutta 4 pykälää oikealle siirrettynä. Sitten 8, sitten 12, sitten ... pykälää oikealle siirrettynä. Ynnätään, ja saadaan 4 numeroisen lottorivin jono. Siirrellään 5 pykälää, ynnätään, ..., ..., ja lopulta meillä on 7 numeroisen lottorivin jono.

160. Jaska28.12.2012 klo 20:47

Tismalleen sama jono kuin listassani. OK:n aluksi eriävän tuloksen innoittama tsekkaukseni on siis pettänyt, vaikka olin laskevinani rivi riviltä. Jossain silti klikkasi. Outo sattuma on kaksi kertaa sama väärä summien summa. Ei muuta kuin uusiksi, nyt superhuolellisesti:D

161. Jaska28.12.2012 klo 21:49

Joo, hoksasin älyttömän summausvirheeni. Listani alkaa 28, 29, 251, 252 - 1 (kpl). Summa on 4, mutta yhteenlaskussa käyttämäni alkupään osalta sen olisi pitänyt olla 2. Virhe tuplaantui, kun kerroin 28-139 lukumäärät kahdella.

Sokeuttani olin pudottanut kaksi riviä 38-summasta, ja se poiki virheen myös 39:ään. Olin kai jonkinasteisessa paniikissa:D. Tosin tuo määrätyn lukumäärän riviltä ynnääminen on paljon virhealttiimpaa kuin Matin esittelemä porrastustekniikka.

162. Olavi Kivalo28.12.2012 klo 22:32

Mielenkiintoista kunka monella tapaa tätä tehtävää on ratkottu -ja menestyksellä. Päätin itse lähteä liikkeelle tavalla, joka tuntui suoraviivaisimmalta: etsiä lukujen 1...39 seitsemännumeroisten permutaatioiden summat ja niiden lukumäärät .

Tämä takuuvarma lähestymistapa sortuu siihen, että permutaatioiden lukumäärä koko alueella on kosmologinen. Päätin permutoida 7:ää lukua osa-alueilla 1...n, jossa n on 8, 9, 10, ..., 15 ja etsiä mahdollisia säännönmukaisuuksia, jotka voisi yleistää koko alueelle.

Summajakaumien erotukset käyttäytyvätkin melko kauniisti ja mahdollistavat todella extrapoloinnin alueen 1...15 ulkopuolelle. Tästä voisi päästä differenssiyhtälöön. Toisaalta Jukkiksen (vai Jukkisin) esittelemä analyyttinen ratkaisu on siinä määrin mykistävä, että motivaationi lähteä kehittelemään laski.

Myös Jaskan helmitaulutekniikka on mykistävä. Muistuu mieleen eräs TKK:n professori, joka joskus 50 vuotta sitten kehitteli jotain kaiken teoriaa ja (näin kerrotaan) kulutti loppuun 5 logaritmitalua. Teoriasta ei ole kuulunut.

163. Jukkis28.12.2012 klo 22:53

Oli kyllä mukava pähkinä tämä. Jaskalle kiitokset.

164. Jukkis28.12.2012 klo 23:09

Koska kaikkein eniten (219489 kpl) on sellaisia lottorivejä, joiden numeroiden summa on 140, niin varmaankin Veijo Wiren lotto-hömppäkirjansa seuraavaan painokseen (joka ei toivottavasti koskaan ilmesty) laittaa kokonaisen luvun tämän asian tiimoilta.

165. Matti29.12.2012 klo 16:09

Piti vielä sanoa, että tuo Jukkiksen löytämä polynomikaava mykisti paitsi Olavin myös minut.

166. Matti2.1.2013 klo 23:49

Kiinnostaako tällainen mekaniikan tehtävä: Lapsi istuu keinussa (keinulauta, josta lähtee kaksi narua ylös tukiorteen). Vauhti on hurja, yläkuolokohdassa narut ovat vaakasuorassa. Kun narut muodostavat ylöskeinuessa kulman f pystysuoran kanssa, lapsi irtoaa keinusta, siirtyy ympyräradalta ballistiselle radalle, ja tömähtää aikanaan maahan. Millä kulman t arvolla lapsi lentää kauimmaksi, alakuolokohdasta laskettuna, ja kuinka kauas?

Keinun narujen pituus on R=10m. Vetovoiman kiihtyvyys on 10 m/s2. Alakuolokohdassa keinulauta hipaisee maan pintaa. Lapsi on massapiste, ilmanvastusta ei ole. Tehdään siis "normaalit idealisaatiot". Valitaan pituusyksiköksi 10m. Nyt R=1 ja vetovoiman kiihtyvyys g=1. ("Siistiä" ratkaisua ei tähän ole, mutta onhan Excel keksitty.)

167. Jukkis3.1.2013 klo 16:11

Saihan tuolle etäisyydelle f:n funktiona aika siistin lausekkeen, mutta sen maksimin etsiminen derivoimalla ei tosiaan kovin siististi taida mennä. Excelillähän se maksimi sitten löytyi. Enpäs vielä sano omaa vastaustani.

g:llehän voi käyttää ihan mitä arvoa vaan, koska se supistuu pois lopullisesta lausekkeesta. Optimikulma ja maksimietäisyys siis on Kuussa ja Jupiterissa samat kuin maapallolla. Toisaalta yllättävää, toisaalta ei. Pitää kyllä vielä tarkastaa.

168. Jukkis3.1.2013 klo 16:26

Matlabin symbolinen laskenta tuosta selvisi ja antoi tarkan vastauksen optimikulmalle:

2*atan(((36*(69^(1/2)/18 - 11/54)^(1/3) + 54*((69^(1/2)/18 - 11/54)^2)^(1/3) - 30)/(3*69^(1/2) - 11))^(1/2)*((69^(1/2)/18 - 11/54)^(1/3)/3 - ((1/18*69^(1/2) - 11/54)^2)^(1/3) + 5/9))

169. Matti3.1.2013 klo 18:55

Sain etäisyydeksi 23,9 metriä, saitko Jukkis saman? Entä lisädesimaaleja?

170. Jukkis3.1.2013 klo 19:25

Kulman tarkka arvo tuossa edellä radiaaneina, 40.98531833 astetta
Etäisyys 23.93539542 m

171. Jukkis3.1.2013 klo 19:34

Sain etäisyyden lausekkeeksi

sin(f)+2*sin(f)*cos(f)^2+2*cos(f)*sqrt(cos(f)-cos( f)^4))

Matlab antaa tälle derivaatan:

cos(f) + 2*cos(f)^3 - 2*sin(f)*(cos(f) - cos(f)^4)^(1/2) - 4*cos(f)*sin(f)^2 - (cos(f)*(sin(f) - 4*cos(f)^3*sin(f)))/(cos(f) - cos(f)^4)^(1/2)

Ja sitten Matlab löytää tuolle kuusi nollakohtaa, eli plus ja miinus 0.7153 ja lisäksi neljä kompleksista nollakohtaa.

172. Olavi Kivalo3.1.2013 klo 19:48

En valitettavasti ehtinyt mukaan tähän keinukarkeloon. Toivottavasti lapsen vammat olivat vähäiset.

En nimittäin voinut unhoittaa poies Jaskan lottonumerosummajakautumaongelmaa, kun olin kerran siihen sekaantunut. Ajattelin, että löytäisin jonkun differenssikuvauksen, josta summajakautuman voisi ennustaa mielivaltaiselle tapaukselle. Tällaisen löysinkin. Näinhän näitä lukujonoja yleensä haetaan.

Tulos: Peräkkäiset summajakautumat, kun lottopallojen kokonaismäärää kasvatetaan, voidaan esittää vektoreina A(1), A(2), A(3), ..., joiden erotukset käyttäytyvät siten, että i:s differenssi on nollavektori.

Jos kaikki olisi yhtä simppeliä kuin skalaareilla, saataisiin lineaari differenssiyhtälö [muotoa a(n+4) - 4a(n+3) + 6a(n+2) - 4a(n+1) + a(n) = 0] ja sille siisti analyyttinen ratkaisu [a(n) = c1 + n*c2 + n^2*c3 + n^3*c4]. Tässä vektorit A(n) ovat eripituisia ja pituus kasvaa, kun n kasvaa. Tästä huolimatta systematiikka vektoridifferenssien määrittämiseksi on yksinkertainen, mutta näyttäisi samalla raunioittavan toiveet analyyttisestä differenssiyhtälölähestymistavasta.

Kirjoitin siis algoritmin, joka tuottaa summajakautumia mutta ilman overflow-riskiä. Algoritmi tarvitsee alkuehdoksi i:n ensimmäisen permutaation pohjalta lasketut summajakautumat. Siitä eteenpäin se pärjää differenssien säännönmukaisuudella.

Piti testata, että uskomukseni mahdollisuuteen ekstrapoloida rajatta piti paikkansa.

173. Matti3.1.2013 klo 20:16

Jukkis, joo, samaa mieltä. Kovin eri teitä olemme ednneet ratkaisuun. "Sama se minkä värinen kissa on, kunhan se vain pyydystää hiiriä" (Mao Tse Dong)

174. Jukkis3.1.2013 klo 20:27

Mistä tiedät, että eri teitä? Minä lähdin miettimään asiaa energian säilymisen pohjalta. Ja sitten ylöspäin pystysuuntaisen liikkeen hidastuvuuden ja sitten alaspäin tulon kiihtymisen kaavat tuli peliin. Noista sai ratkaistua aika-arvoja, joista sitten sai matkan, koska vaakasuuntainen nopeus on irtautumisen jälkeen vakio. Onko joku muu lähestymistapa? Samaan kaavaan sekin varmaan johtaa?

175. Matti4.1.2013 klo 13:35

Ajatus minulla kulki täysin samoja ratoja (ensin ympyrä-, sitten paraabeli :-), tarkoitin ratkaisumetodia. Laitoin ensimmäiseen Excel-sarakkeeseeen kulman f arvot 0, 5, 10, ..., 90. Seuraavaan cosf ja sitten sinf. Sitten nopeuden V=sqr(2Rgcosf). (Laitoin heti R=g=1, mutta jätän ne ohessa paikoilleen, jotta selviää missä mennään.) Sitten laitoin x-komponentin Vx=Vcosf, ja sitten Vy. Ja sitten ne ajat. Nousuaika t1=Vy/g ja laskeutumisaika t2=sqr(2R/g*(1-cosf^3)). Ja lopulta kysytty etäisyys s=(t1+t2)Vx. Siis aivan peruskaavoilla mentiin. S:lle haettiin maksimia kirjoittamalla t:lle vielä arvot 40, 40.1, 40.2, ..., 42, ja sitten vielä tiheämmin 41:n ympäriltä.

Olin vähän yllättynyt siitä, että s ei riippunut vetovoiman kiihtyvyydestä g. Nopeudet nimittäin olivat suoraan verrannollisia sqr(g):hen, ja ajat kääntäen verrannollisia siihen. Matkan lausekkeista g sitten supistui. Olisiko pitänyt heti hoksata intuitiivisesti, mene ja tiedä. Kuussa keinunta on verkkaista ja hitaasti mennään. Jupiterissa taas mennään kuin nopeutetussa filmisssä, mutta silti lennetään tasan yhtä pitkälle. Jos Jupiterin filmi ajetaan ulos sopivasti hidastettuna, tulos on identtinen kuun filmin kanssa.

176. Jukkis4.1.2013 klo 13:55

Paitsi että kaava s=(t1+t2)Vx antaa etäisyyden irtoamiskohdasta. Tuohon pitää tietysti vielä lisätä irtoamiskohdan x-koordinaatti.

Aluksi mietin, että menisköhän tuo niin, että johtaisi paraabeliradalle lausekkeen ja sitten siitä etäisyyden. Luultavasti olisi johtanut samaan etäisyyden kaavaan.

177. Matti4.1.2013 klo 16:26

-Joo, alusta unohtui Rsinf.
-Samaan etäisyyden kaavaan olisi johtanut, epäilemättä.

178. Olavi Kivalo5.1.2013 klo 11:31

Ovatko mekaanisten ongelmien ratkaisutavat (makrotasolla) erilaiset, tarkoittanee vain sitä, onko käytetty Newtonin, Lagrangen vai Hamiltonin mekaniikkaa? (Kvanttimekaniikka on erikseen.)

Kuinka johdetaan sama tulos Lagrangen mekaniikalla?

179. Jukkis5.1.2013 klo 14:36

Eikös siinä käy niin, että kun lähtee painovoimakentässä tapahtuvan liikkeen tapauksessa Lagrangen funktiota muokkaamaan, niin päätyy täsmälleen Newtonin mekaniikan mukaisiin yhtälöihin.

180. Olavi Kivalo6.1.2013 klo 01:43

Kyllä käy. Samoin, kun lähtee Hamiltonista. Ja kuinkas muuten, koska kaikki ovat liikeyhtälöiden erilaisia formulaatioita.

181. Antti12.1.2013 klo 06:16

Fysiikkaan perehtymättömiltäkin onnistuva:

1, 16, 81, 1, 81, 4, 169, 49, 1, ?

182. Matti9.2.2013 klo 18:30

Seuraava ei välttämättä onnistu fysiikkaan perehtymättömältä:

Tyhjässä avaruudessa on kaksi kappaletta. Molempien massa on 1 kg. Hetkellä t=0 kappaleiden välinen etäisyys on 1 m, ja kappaleet ovat toistensa suhteen liikkumattomia. Niiden alkunopus on siis nolla. Sitten ne alkavat lähestyä toisiaan keskinäisen gravitaatiovoiman ajamina. Kuinka pitkän ajan jälkeen kappaleeet törmäävät toisiinsa, ja mikä on niiden nopeus törmäyshetkellä? Kappaleet oletetaan pistemäisiksi.

183. Jukkis9.2.2013 klo 20:07

Näin hetken miettimisen jälkeen tuo kyllä vaikuttaa aika hankalalta pähkinältä. Törmäysnopeudelle kyllä sain yhdellä tavalla (joka voi olla ihan väärä) aika pienen arvon, 0.012 mm/s. Ajasta ei mitään käsitystä, paitsi arvaus: Aika pitkä.

184. Matti9.2.2013 klo 21:24

Tämä menee ihan kuin juna kiskoilla: Kirjoitetaan Newtonin liikeyhtälö F=ma, ja ratkotaan sitä sopivasti. Teknisiin ongelmiin tulee silti varautua. Yleistä gravitaatiovakiota tarvitaan.

185. Jukkis9.2.2013 klo 21:44

Hiukka nyt vähättelet tehtävän vaativuutta. Tottahan tuo F = ma :n kirjoittaminen sujuu aika kätevästi, mutta siitä eteenpäin ei ole ihan jokapäiväistä kaavanpyöritystä.

Tarkempi miettiminen puolitti nopeuden: 0.0058 mm/s. Ajaksi ehdotan 26 h 42 min 16.9 s.

186. Jukkis9.2.2013 klo 22:01

No helkuta. Tais tuo nopeushomma mennä ihan pieleen. Nyt kun katselin uudestaan, tulin siihen tulokseen, että kun massat on pisteitä, niin siitähän seuraa törmäyshetkellä jonkinlainen singulariteetti, ja törmäysnopeus onkin ääretön.

Mutta kuluva aika pitää tarkistuksen jälkeenkin.

187. Jaska9.2.2013 klo 23:10

Fysiikkaan perehtymätöntä kiinnostaisi myös Antin tehtävän ratkaisu?

188. Jaska9.2.2013 klo 23:10

Fysiikkaan perehtymätöntä kiinnostaisi myös Antin tehtävän ratkaisu?

189. Antti10.2.2013 klo 04:51

1, 16, 81, 1, 81, 4, 169, 49, 1, ?

Näyttää ollleen kiinnostamaton tai vaikea.
Seuraava on = [jakojäännnös(100, 21)]^2
= 16^2 = 256.

a(j) = [jakojäännös(j^2, j+11)]^2

190. Jukkis10.2.2013 klo 09:55

Törmäystehtävän vastauksen seuraava versio: Aikaa kuluu 154 532.7 sekuntia eli vajaat 43 tuntia.

Edellinen vastaus meni väärin siksi kun en älynnyt, että kappaleet menee toisiaan kohti tietysti kiihtyvyydellä a = 2F/m.

Voi kyllä olla että edelleen jossain kohdassa meni pieleen.

191. Jukkis10.2.2013 klo 10:12

Alkaa nyt mennä jo naurettavaksi tämä homma, mutta tässä on näköjään tosi helppo laittaa kakkonen väärään kohtaan tai sitten jättää se pois oikeasta kohdasta.

Seuraava versio vastauksesta : 222 511.8 sekuntia eli vajaat 62 tuntia.

Nyt en enää tarkista ennen kuin Matti tai joku muu antaa oman version.

192. Matti10.2.2013 klo 11:55

Ihan samaan en päässyt, mutta samalle hehtaarille kyllä: vähän yli vuorokausi. Entä se loppunopeus?

193. Jukkis10.2.2013 klo 12:06

Oliko se vähän yli vuorokausi 86 553,7 sekuntia? Sellainenkin vastaus minulla välillä oli, mutta sitten tulin siihen tulokseen, että se on väärin.

Loppunopeudenhan tuolla jo aimmin päättelin äärettömäksi. Ja sen tuloksen kaavatkin antaa.

194. Matti10.2.2013 klo 13:01

Nyt vasta hoksasin nuo aiemmat kommenttisi. Loppunopeudeksi kaava antaa todella äärettömän. Ajaksi sain 26h 42 min 25 s, vrt. 9.2.2013 klo 21:44. Kaavaksi tuli t=(pi/2)sqr((2R^3)/(mG)), R=0,5metriä, m=1kg ja G=6,673*10^(-11) m^3 s^-2 kg^-1.

195. Jukkis10.2.2013 klo 13:37

Eli sama kuin minun eka tulos. Käytin hiukka eri G:n arvoa.

Varmaan sulla on kaava, jossa on etäisyys ja aika? Väitän, että jos laitat ajaksi 0, niin kaavasi ei anna etäisyydeksi 1 m.

196. Matti10.2.2013 klo 14:06

Johdin kaavan joka antaa t=t(r). Se on aivan siivottoman monimutkainen, eikä ole käännettävissä muotoon r=r(t):

t=K(coswsinw+w), missä cosw=sqr(2r) ja K=vakio, joka pitää sisällään G:n ja m:n. v^2=(mG/2)(1/r-2)

Kun r=0, w=pi/2, ja kaava sievenee edellä antamaani muotoon. En kyllä näe, miksi t(r)=0 ei antaisi r=1m.

Kaavan mukaan liike on jaksollista. Kappaleet lävistävät toisensä äärettömällä nopeudella (!), ja alkavat loitota toisistaan hidastuvalla nopeudella. Kun etäisyys on 1m, kappaleet pysähtyvät ja alkavat jälleen lähetä toisiaan, toistaen ensimmäisen vaiheen.

197. Jaska10.2.2013 klo 14:16

Antin jonosta näki heti, että neliöistä on kyse, mutta jakojäännös tietysti vaikeutti. Etenkin kun piti hoksata, että murtoluvuissa jakojäännös = jaettava. Tehtävän tiimoilta pari kysymystä Antille, kakkoseen voivat vastata muutkin, jos kiinnostaa.

1. Tehtäväsi sanamuodosta voi päätellä, että se liittyy jotenkin myös fysiikkaan. Miten? Vai oliko se pelkkä heitto, koska et itse ole kiinnostunut ketjun fysiikan tehtävistä?

2. Mikä on jonosi erisuuruisten jakojäännösten lukumäärä?

198. Jukkis10.2.2013 klo 14:23

Matti, jos sulla on t = t(r), niin laita siihen r = 1 ja katso, tuleeko t = 0.

199. Jukkis10.2.2013 klo 14:51

Ai nii, tuollahan se kaava oli. Eli t=K(coswsinw+w), missä cosw=sqr(2r).

Ja ilmeisesti olet nuo etäisyydet määritellyt niin, että r = massojen etäisyys törmäyspisteestä? Eli alkutilanteessa r = 0.5. Eli kun t = 0, niin cos(w) = 1, joten w = 0. Joten tuosta tulee t = 0.

Jännää. Mulla on ihan erilaiset kaavat. Ja tosiaan sain ekalla versiolla saman vastauksen, mutta sitten löysin siitä mielestäni virheen. Pitää vielä katella.

200. Antti10.2.2013 klo 14:56

Jaskalle
ja, kuten Jaska sanoi,
2. kohta toisillekin, jos kiinnostaa.

1. En tiedä, liittyykö fysiikkaan. En pysty ratkaisemaan niin vaativia fysiikan tehtäviä kuin te pystytte.

2. Jakojäännöksiä löysin jonon alkupäästä 62 eri suuruista.

201. Matti10.2.2013 klo 16:30

Itse asiassa kappaleet suorittavat planeettaliikettä, siis kulkevat elliptistä rataa, joka tässä erikoistapauksessa on kutistunut janaksi, koska impulssimomentti L=0. Kaivoin esille Keith Symonin mekaniikan oppikirjan (2. painos, 1960), ja rupesivat suomukset putoamaan silmiltä. Keplerin kolmas laki sanoo, että planeetan kiertoajan neliö on verrannollinen ellipsin isoakselin kuutioon, siis T^2=Kr^3, missä K:lle saadaan arvo 4pi^2/mG. T:n neljäsosa on kahden kappaleen tehtävän ratkaisu. Se on sama kuin ylläoleva t=(pi/2)sqr((2R^3)/(mG)). Uuno Turhapuron muisti palailee pätkittäin.

202. Matti10.2.2013 klo 16:32

Jukkis, ei kai sinun kaavat voi pohjimmiltaan erilaisia olla, koska päädyimme samaan tulokseen vaikka kuinka monella desimaalilla.

203. Jukkis10.2.2013 klo 17:33

Siis Kepler: T^2 = 4(pi^2)(r^3)/mG.

Silloin T = 2pi sqrt(r^3/mG)
Jolloin T/4 = (pi/2)sqrt(r^3/mG)

Sinun kaavassa t=(pi/2)sqr((2R^3)/(mG)) on yksi kakkonen enemmän.

Eli?

204. Jaska10.2.2013 klo 17:44

Antilla oikea vastaus 62, mutta se pätee koko jonoon. Jakojäännökset ovat 1-60/1-109, 0/110, 121/111 -> ääretön.

205. Matti11.2.2013 klo 01:17

Jukkis, jotakin häikkää tuossa nyt on. Täytyy huomenna katsoa, saisiko siihen tolkkua. Se on pienestä kiinni, mutta silti.

206. Jukkis11.2.2013 klo 08:13

Kuten tuolla edellä sanoin: "...tässä on näköjään tosi helppo laittaa kakkonen väärään kohtaan tai sitten jättää se pois oikeasta kohdasta. "

Heti siitä lähtien, että mitä tarkoittaa kaavoissa esiintyvät r ja R. Onko nyt sitten alkutilanteessa r = 1 m vai r = 0.5 m? Mitä nyt on "ellipsin isoakseli"? Jos ellipsi on ympyrä, niin onko isoakseli sama kuin sen säde vai sen halkaisija? Ainakin Wikipedian mukaan halkaisija.

207. Jukkis11.2.2013 klo 14:52

Viimeisimmän ymmärrykseni mukaan tuo Keplerin kolmas laki kuuluu että
T^2 = 4(pi^2)(r^3)/(m1+m2)G.

Kun kyseessä on planeetta (m1) ja aurinko (m2 >> m1), niin silloin riittävän tarkka tulos tulee vaikka planeeta massan jättää pois. Mutta nyt kun kaksi samaa massaa m1 = m2 = m, niin tuosta tulee
T^2 = 2(pi^2)(r^3)/mG.

Vai mitä mieltä Matti olet?

Niin, ja tuo r siis on ellipsin isoakselin puolikas.

208. Matti11.2.2013 klo 16:01

Niin, tämä antaisi T=2t, missä T on planeetan kiertoaika, ja t on laskemani aika levosta törmäykseen. Ja pitäisi olla T=4t. Ja alussa r=0,5m, ja isoakseli vastaa ympyrän halkaisijaa, ja Keplerin laki lausutaan yleensä isoakselin puolikasta (semimajor axis) käyttäen. Eli on tässä vielä ristiriita oman ja mekaniikan oppikirjojen tulosten välillä. (Luontainen vaatimattomuuteni estää minua sanomasta, että sen pahempi mekaniikan oppikirjoille). Täytyy vielä katsella.

209. Matti11.2.2013 klo 23:48

Löysin laskuvirheen, yksi kakkonen puuttui, ja nyt
t=pi sqr(2r^3/mG)=T/4=53h24min51s. Ja r=0,5 metriä, ja kaikki stemmaa. Joutuipas vääntämään.

210. Matti12.2.2013 klo 00:16

Vaan ei taida vieläkään olla T=4t. Pitää kai vielä huomenna katsoa. Mutta alkuperäisen tehtävän ratkaisu on kyllä tuossa ylempänä.

211. Jukkis12.2.2013 klo 07:11

"...alkuperäisen tehtävän ratkaisu on kyllä tuossa ylempänä." Siis missä? Minä en löydä muita kuin sittemmin virheelliseksi todettuja ratkaisuja.

212. Matti12.2.2013 klo 09:13

Tuossa 12.2.2013 klo 00:16,
t=pi sqr(2r^3/mG)=T/4=53h24min51s.

213. Matti12.2.2013 klo 09:15

Ei vaan tuossa 11.2.2013 klo 23:48.

214. Jukkis12.2.2013 klo 09:24

No nyt en kyllä taas tajua mitään. Keplerin laki siis antaa kaavan

T^2 = 2(pi^2)(r^3)/mG

eli T = pi*sqrt(2r^3/mG)

Tuosta kun laskee niin saa tuon 53h24min51s.

Joten siis vastaus tähän sinun tehtävään on T/4 = 13h 21min 26s.

Tuo vastaus esiintyy täällä nyt ekan kerran.

Nyt vaan kummankin meistä pitää vielä miettiä omaa vastaustaan, koska kumpikaan ei ole tuota tulosta itse johtamalla saanut.

215. Jukkis12.2.2013 klo 11:27

Sitten tulin siihen tulokseen, että tuossa Keplerin 3. laissa pitää laittaa r = 1 m. Alussa massa 1 on metrin päässä massan 2 oikealla puolella. Sitten kierroksen (eli viivaksi litistyneen ellipsin) toisessa ääripäässä se on metrin päässä massan 2 vasemmalla puolella. Siis rataellipsin isoakseli = 2 m, isoakselin puolikas = 1 m.

Silloin vastaukseksi tulee 37h 45min 58s.

216. Matti12.2.2013 klo 17:30

Johdin alkuperäisen tehtävän ratkaisun suoraan Newtonin yhtälöstä F=ma vetoamatta millään lailla Keplerin kolmanteen lakiin tai planeettaliikkeeseen. (Ne pohdinnat lisäsin myöhemmin.) Ja kun korjasin laskuvirheen (lisäsin kakkosen eteen), pidän tulosta oikeana, siis t=pi sqr(2r^3/mG)=53h 24min 51s. Tässä etäisyys r lasketaan toisesta kappaleesta kappaleiden keskipisteeseen, ja alussa r=0,5. Tähän asti kaikki on selvää.

217. Jukkis12.2.2013 klo 17:42

Olet siis sitä mieltä, että Keplerin kolmas laki ei nyt päde? Aikamoinen väite.

218. Jukkis12.2.2013 klo 21:16

Nyt sitten vielä kerran aloitin alusta yhtälöstä F = ma. Ja taas piti kakkosia miettiä moneen kertaan, mutta lopulta päädyin samaan tulokseen sekä määrittelemällä r = massojen etäisyys toisistaan (alussa r = 1 m) että määrittelemällä r = massojen etäisyys törmäyspisteestä (alussa r = 0.5 m). Päädyin kummallakin tavalla tuohon 12.2.2013 klo 09:24 mainitsemaani 13h 21min 26s.

Mutta eihän tämä vielä tässä ole. Saman tuloksen saa Keplerin 3. laista, jos laittaa rataellipsin isoakselin puolikkaaksi 0.5 m. Mutta kun se puolikas minusta ihan selvästi on 1 m, ks. 12.2.2013 klo 11:27.

Että onko se puolikas siis sittenkin 0.5 m? En keksi, millä perusteella.

219. Matti12.2.2013 klo 22:00

Keplerin kolmas laki sanoo, että kiertoajan neliö on suoraan verrannollinen kiertoradan isoakselin puolikkaan kuutioon, niin tämähän on täydessä sopusoinnussa tuloksen 11.2.2013 klo 23:48 kanssa. Vielä ei olla Kepleriä syrjäyttämässä. Mutta verrannollisuuskertoimien välille pitää vielä etsiä sopusointua.

220. Jukkis12.2.2013 klo 23:03

Mulla on vähän vaikeuksia ymmärtää sun merkintöjä. Mitä on t ja T? Tuolla 11.2.2013 klo 23:48 lukee että
t=pi sqr(2r^3/mG)=T/4=53h24min51s.

Että siis T/4=53h24min51s. Mikä on tuo T, jonka arvo on 213h 39min 24 s?

221. Jaska12.2.2013 klo 23:41

Mitä tarkoittaa pistemäinen? Sitäkö, että kappaleilla ei ole ulottuvuutta? Siihenkö perustuu se ilmeisesti vain laskennallinen tulos, että ne lävistävät toisensa? Minä maallikkona olen käsityksessä, että massa edellyttää materiaa ja siis ulottuvuutta.

Voisin kyllä kuvitella, että kappaleilla, joilla on kaasumainen koostumus, näin voi käydä. Atomit siis etenisivät toistensa lomitselimitse edestakaisin, kunnes yhtyisivät yhdeksi kaasupalloksi massaltaan kaksi kiloa.

Jos taas massat koostuisivat raskaista alkuaineista, mötikät kimmahtaisivat kohtaamisen jälkee erilleen kerran, kaksi, tai ties kuinka monta kertaa, kunnes jäisivät paikalleen kosketuksissa toisiinsa. Väitän siis, että kilon massa ei riitä räjäyttämään niitä partikkeleiksi taivaan tuuliin. Niiden kohtaamisnopeus on äärellinen eikä tarpeeksi suuri, minkä laskelmannekin vahvistavat.

Tosin Jukkis väläytti välillä jotain ääretöntä nopeutta kohtaamishetkellä. Ei lävistä sekään teoria tätä liian paksua kalloa!

222. Matti13.2.2013 klo 00:12

Pistemäinen massa ja pistemäinen varaus ovat idealisaatioita, jotka joissakin yhteyksissä toimivat, ja taas toisissa yhteyksissä johtavat absurdeihin johtopäätöksiin. Tässä tehtävässä pistemäisyydestä johtuva hetkellinen ääretön nopeus voidaan sinänsä nielaista, ellei takerruta siihen, että valon nopeutta ei voi ylittää. Pisteen nollaa suurempi massa johtaa äärettömään tiheyteen - ei sekään ihan hyvältä näytä. Mutta tuota törmäysajan laskentaa, jota tässä touhutaan, ei pistemäisyys sinänsä haittaa. Reaalimaailmassa, jossa kappaleilla on nollaa suuremmat mitat, törmäysaika on ihan lähellä idealisoitua tapausta.

223. Matti13.2.2013 klo 00:23

Jukkis, T tarkoittaa planeettaliikkeen jaksonaikaa, ja t alkuperäisen tehtävän törmäysaikaa. Ajattelin, että olisi T=4t, mutta näin ei välttämättä ole. Planeettaliikkeelle on luonteenomaista yksi suuri ja yksi pieni massa, kuten aiemmin totesit, ja tämä voi estää sen soveltamista yhtäsuurien massojen tapaukseen. Tässä voi jotain roolia näytellä nk. redusoitu massa n=mM/(m+M). Planeettaliikkeessä n=m, ja yhtäsuurien massojen tapauksessa n=m/2.

Mutta muuten tämä on nyt kohdaltani mennyt sähläykseksi: eilinen laskuvirhe ei ollutkaan virhe, ja uskon nyt taas vanhaan vastaukseeni t=26h 42 min 25s. Mutta lopetan sähellyksen, ja palaan tähän asiaan vasta kun, tai jos, löydän itseni taatusti selviltä vesiltä.

224. Wexi13.2.2013 klo 00:38

[Redusoitu massa aiheutti planeettaliikkeen silmämuniini. Havaitsin "silmien pyörimisen" kiertoajan toisen potenssin olevan verrannollinen silmien välin pituuden puolikkaan kolmanteen potenssiin;-)]

225. Wexi13.2.2013 klo 00:39

pituuden po. etäisyyden.

226. Jukkis13.2.2013 klo 08:45

Minä puolestani sanon että "case closed". Vastaus Matin tehtävään on 13h 21min 26s. Tuon tuloksen antaa Keplerin kolmas laki ja tuon saman tuloksen sain itse, kun sen johdin kaavasta F = ma lähtemällä.

Edellä 12.2.2013 klo 11:27 spekuloin, että mikä on tässä tapauksessa (ihan littanaan menneen) rataellipsin isoakselin puolikas. No, sehän on sittenkin 0.5 m, koska rataellipsin keskipiste = kappaleiden massakeskipiste. Kumpikin kappale käy radallaan puolen metrin päässä massakeskipisteestä.

Kun laitetaan massa m = 1, niin Keplerin kaava antaa yhden kierroksen kestoksi
T = pi*sqrt(2r^3/G)
ja Matin tehtävän vastaus on T/4, eli kun r = 0.5, niin
t = T/4 = 0.125*pi/sqrt(G) = 13h 21min 26s.

Minä taas sain F = ma :sta lähtemällä lievän differentiaali- ja integraalilaskennan jälkeen aikaan lausekkeen
t = {0.25*arctan[(1-r)/r] - 0.5*sqrt[r*(1-r)]}/sqrt(G)
missä t = alkutilanteesta kulunut aika ja r = kappaleiden etäisyys. Siis alkuhetkellä t = 0 ja r = 1 ja törmäyshetkellä r = 0, jolloin tuosta tulee törmäysajalle kaava
t = [0.25*arctan(ääretön)]/sqrt(G) = (0.25*pi/2)/sqrt(G)
= 0.125*pi/sqrt(G) = 13h 21min 26s.

Matti, jos haluat vielä tarkistaa oman matikkasi, niin laske vastaus johtamalla lauseke kahteen kertaa: Ensin määrittele, että r = massojen etäisyys (alussa 1 m). Ja sitten johda uudestaan niin että r = massojen etäisyys törmäyspisteestä (alussa 0.5 m). Näin minä sain paikallistettua virheen (kakkosia väärissä paikoissa) omista kaavoistani.

227. Jukkis13.2.2013 klo 14:37

Case re-opened. On tämä hulvaton tehtävä. Lisäperehtyminen tämmöisen binäärisen systeemin ratadynamiikkaan on nyt opettanut, että oikeasti radan litistyneen ellipsin isoakseli on nyt 0.5 m, joten Keplerin 3. lain kaavaan T = pi*sqrt(2r^3/G) pitää laittaa r = 0.25. Silloin tulee T = 18.8831 h. Ja kysytty aika, eli milloin massat kohtaavat ekan kerran, on T/2 = 9.4415 h.

Joka nyt sitten tällä kertaa on lopullinen vastaukseni. Nyt sitten vaan minun itse johtama vastaus on sqrt(2)-kertainen. Että taas siellä on joku kakkonen väärässä paikassa.

Ja tuolla edellä kirjoittamani "rataellipsin keskipiste = kappaleiden massakeskipiste" on ihan höpöä.

228. Jukkis13.2.2013 klo 15:20

Täällä voi vilkaista, miten nuo massat liikkuu: aijaa.com/pqEt5e

Tuon litistyneempää ellipsiä ei simulointisovelluksessa saanut aikaan, mutta kun rataellipsit litistyy lisää, niin lopulta ne sivuaa toisiaan, jolloin massat sahaa eestaas kohdaten toisensa aina keskellä.

229. Matti13.2.2013 klo 16:51

Löysin oppikirjasta harjoitustehtävän: Todista, että T/t=4sqr2. T ja t kuten yllä. Tästäpä pääsemme eteenpäin. Tai sitten emme.

230. Matti13.2.2013 klo 16:57

Mielenkiiintoinen videonpätkä - siinä mielessä, että omassa mallissani kappaleet kulkevat samaa rataa, mutta vastakkaisvaiheessa. Esim. ympyrätapauksessa kappaleet kiertävät samaa ympyrää niin, että niiden yhdysjana kulkee aina ympyrän keskipisteen kautta.

231. Jaska13.2.2013 klo 17:46

Selitäpä Matti maallikolle, mikä saa kappaleesi liikkumaan ympyrärataa. Alkutilannehan oli kappaleiden liikkumattomuus toistensa suhteen. Oletan tyhjän avaruuden tarkoittavan tässä virtuaalista universumia, jossa ei ole "alussa" mitään muuta kuin jokin virtuaalinen voima, joka luo tyhjästä mitattavissa olevan ajan, paikan ja painovoiman sekä kaksi tehtävässä määritettyä kappaletta.

Siinä tapauksessa kappaleet eivät syntyhetkellään liiku minkään muunkaan suhteen, mutta alkavat heti sen jälkeen painovoiman vaikutuksesta lähestyä toisiaan. Maallikon järki sanoo, että se tapahtuisi suoraviivaisesti kolmiulotteisessa avaruudessa. Kappaleet siis kohtaisivat yhdysakselinsa keskipisteessä. Kiertoliikkeeseenkin tarvitaan jokin alkuunpaneva voima. Mikä se siis on? Kaareutuva avaruus?

232. Jukkis13.2.2013 klo 19:43

Kuka on sanonut, että nämä liikkuu ympyrärataa? Vastaus: Ei kukaan.

233. Matti13.2.2013 klo 20:14

Jaska, eivät nämä kappaleet alkuperäisessä tehtävässä liikkuneet ympyrärataa, vaan janaa eestaas symmetrisesti siten, että niiden keskipiste osui aina janan keskipisteeseen. Mutta sitten upotimme tehtävän laajempiin yhteyksiin, planeettaliikkeen erikoistapaukseksi, ja silloin ympyräratakin tuli mukaan kuvaan.

234. Matti13.2.2013 klo 20:21

Jukkis, minusta "rataellipsin keskipiste = kappaleiden massakeskipiste" on täyttä totta. (OK, lupasin palata aiheeseen vasta kun olen täysin selvillä vesillä, mutta en sitten kuitenkaan malttanut.)

Onko meillä siis sillai eri kuviot, että sinulla on litteä kahdeksikko, jonka puolikkaat ovat ellipsejä, joilla kummallakin yksi kappale liikkuu, ja minulla on yksi kappaleiden yhteinen ellipsi? Ja jos on, niin mitä sitten?

235. Jukkis13.2.2013 klo 20:34

Ei ne minusta voi millään samaa rataa kulkea, paitsi kun rata on ympyrä. Heti jos rata on elliptinen, on kummallakin oma rata. Mitä isompi eksentrisyys, sitä enemmän radat on erillään. Ääritapauksena eksentrisyys = 1, eli tämä meidän probleemi, jolloin viivaksi litistyneet radat koskettaa toisiaan.

Minä kyllä uskon, että tämä Melbournen yliopiston simulaattori toimii oikein:
astro.ph.unimelb.edu.au/central/Mirrors/binary/bin ary.htm

Laita M1 = M2 ja paina Enter-nappia. Sitten e:stä voit säätää eksentrisyyttä, aina pitää painaa Enter-nappia. Muita ei kannata säätää.

236. Jukkis13.2.2013 klo 20:35

Miksi se jakoi tuon kahdelle riville?

astro.ph.unimelb.edu.au/central/Mirrors/binary/bin ary.htm

237. Jaska13.2.2013 klo 23:00

Matti sekoitti ympyräni, mutta jätti sentään henkiin.

238. Jaska23.2.2013 klo 14:14

5, 53, 157, 73, 211, 257, 373, 557, 593, 607, ?

Päätelmä?

239. Jaska24.2.2013 klo 00:18

Jos virhe on mahdollinen, se tapahtuu (päivän toinen muunneltu aforismi).

Neljäs luku oikein 173. Nouseva järjestys.

240. Jaska26.2.2013 klo 15:36

Täytyi jono tsekata, kun ratkaisuja ei näy ei kuulu. Saattaa johtua viimeksi huomaamatta jääneestä virheestä. 557 on väärin, pitää olla 563. Alusta uusiksi ja vähän jatkoa:

5, 53, 157, 173, 211, 257, 373, 563, 593, 607, 653, 733, 947, ?

Ilman lunttausta googlesta tämän jonon olemus ei selvinne, ellei satu osaamaan ulkoa alkulukuja pitkälle kolminumeroisiin. Toki oikein arvaamiseen voi riittää jo kuusitoista ensimmäistä. Tehtävä ei siis ole vaikea.

241. Jaska5.3.2013 klo 18:53

Viikko on vierähtänyt ilman pienintäkään elonmerkkiä, joten ratkaisu ei liene ennenaikainen. Kuten sanoin, ratkaisu on helppo, ja jonon sekä päätelmieni on oltava pakosta tuttuja lukuteoreetikoille. En tosin pikaisella googlauksella löytänyt asiaa sivuavia osumia.

Jono käsittää alkuluvut, joiden etäisyys sekä lähimmästä edeltävästä että lähimmästä seuraavasta on sama (tupla), aiheuttaen siis alkulukujen toiseen erotusjonoon erotuksen nolla.

Jono voidaan jakaa kolmeen osajoukkoon etäisyyksien pituuden 2, 6, 12 perusteella.

Joukko e2: 5 (3, 5, 7)

Joukon e6 lukujen viimeinen numero on joko 3 tai 7:
53, 157, 173, 257, 373, 563, 593, 607, 653, 733, 947, 977, 1103, 1123, 1187, 1223, 1367, 1747, 1907, 2287, 2417, 2677, 2703, 2963, 3067, 3307, 3313...

Joukon e12 lukujen viimeinen numero on 1 tai 9:
211, 1511, 4409, 4691, 7841, 9871, 11299, 11411, 11731, 12841, 15161, 16619...

Joukossa e6 esiintyy myös triploja eli kolme peräkkäistä samaa erotusta, joista ensimmäinen on esimerkkijonon päättävä 3307, 3313. Ympäröivät luvut ovat siis 3301 ja 3319. Toisessa erotusjonossa on tällöin kaksi nollaa peräkkäin.

Päätelmiä: Joukossa e2 on vain yksi luku: 5

Joukon e6 tiheys on huomattavasti suurempi kuin joukon e12 tiheys (silmin nähtävästä syystä!).

Joukon e12 numeroon 1 päättyvien lukujen tiheys on suurempi kuin numeroon 9 päättyvien.

Triplaerotukset muodostavien neljän luvun viimeiset numerot ovat aina 1, 7, 3, 9 ensimmäisen ja viimeisen luvun erotuksen ollessa 18.

Vain etäisyydet 2, 6 ja 12 täyttävät tuplaehdon.

Tripla on mahdollinen vain etäisyydellä 6.

Triplaa suuremmat samat peräkkäiset etäisyydet eli enemmän kuin kaksi peräkkäistä nollaa toisessa erotusjonossa eivät ole mahdollisia.

Konjektuuri: joukon e6 tuplien ja triplojen sekä joukon e12 tuplien lukumäärä on ääretön.

242. Jukkis5.3.2013 klo 19:20

Kyllä äärettömällä nopeudella toisiinsa törmäävät kappaleet on jännempiä.

243. Matti5.3.2013 klo 19:31

... varsinkin kun ne kierähtävät toistensa ympäri puoliympyrän verran säteellä 0, ja jatkavat suoraan taaksepäin äärellisellä nopeudella.

Omat mieltymykseni ovat samansuuntaiset Jukkiksen kanssa. (Sanottakoon kiireesti, että kyseessä on puhtaasti itseäni koskeva preferenssi.)

244. Jaska5.3.2013 klo 20:33

Matti, en ole koskaan epäillyt puhdasmieluisuuttasi.

245. Jukkis5.3.2013 klo 21:00

Alkuluvuthan sinänsä on jänniä, olen täälläkin joskus suositellut kirjaa Alkulukujen lumoissa (John Derbyshire), aivan huikea. Mutta kyllähän näistä lukujonoista on aika lailla mielekkyys kadonnut. Millä näitä viime aikoina olleita voi lähestyä muuten kuin arvailemalla että onkos nyt taas jotain jakojäännöksiä vai mitä lienee?

Oletkos Matti ajatellut vielä tuohon törmäysjuttuun palata? Itse on pitänyt, mutta en ole saanut aikaiseksi. Varmaan vielä ainakin kerran aloitan tuon ajattelun ihan alusta, kunhan ehtii ja viitsii yhtä aikaa. Pääsiäisenä voisi kokeilla. Mutta sinun 13.2.2013 klo 16:51 esittämä on kyllä ihan saletisti puuta heinää. Mikä oppikirja tuollaista väittää?

246. Jaska5.3.2013 klo 22:37

Jukkis ilmeisesti viittasi Antin 12.1. tehtävään. Se oli vaikea. mutta ei mielestäni lukuteoreettisesti kovin kiinnostava. Sen sijaan alkulukuja koskevat jakojäännökset ovat hyvinkin mielenkiintoisia. Siis jaettavana ja/tai jakajana alkuluku.

247. Matti6.3.2013 klo 01:36

Jukkis, pakkohan siihen on vielä palata. Täytyyhän näin perinteiseen probleemaan selvyys tulla. Asia lepää nyt, eikä minulla ole uutta sanottavaa. Palataan joskus.

Alkuperäisessä tehtävässä tarkastelu päättyi siihen, että massaspisteet törmäsivät toisiinsa. Sen voi kai ajatella jatkuvan kahdella tavalla: sen australialaisanimaation mukaan massapisteet kiepsahtavat nollasäteellä toistensa ympäri 180 astetta, ja palaavat alkuasetelmaan. Mutta kaipa täysin fysikaalinen jatko on sekin, että massapisteet sujahtavat toistensa läpi ja jatkavat suoraviivaista liikettä alkuasetelmaan, mutta massapisteiden asemat vaihtuneina. Törmäyspisteessä on singulariteetti, kuten jo esitit, siten että potentiaalienergia on miinus ääretön ja liike-energia plus ääretön, ja niiden summa äärellinen. Tämä idealisaatio ei minusta romuta tehtävää, eikä tuo siihen ylimääräisiä kakkosia, ei neliöjuuren ulko- eikä sisäpuolelle.

Intuitioni ei kerro, miksi olisi Newtonin lain vastaista sellainen liike, että massapisteet liikkuvat yhteisellä ellipsiradalla siten, että ellipsin keskipiste on aina massapisteiden välijanan keskipiste. Mutta olin kyllä sittemmin osoittavinani tällaisen liikkeen mahdottomuuden (poikkeuksena ympyrärata).

13.2.2013 klo 16:51 harjoitustehtävä oli: Herbert Goldstein: Classical Mechanics, Addison Wesley, toinen painos, 1980, s. 121, tehtävä 3. Kaipa se oikein on, mutta olen varmaan sekoillut T:n ja t:n tulkinnoissa.

Tätä olisi kiva pohtia nokikkainkin. Tuletko (menetkö) Postitalolle Ristikonratkonnan SM-finaaliin?

248. Matti6.3.2013 klo 01:43

Harjoitustehtävässä kai sanottiin, että jos T on yhteisen ympyräradan (säde 0,5m) jaksonaika, ja t ympyräradalla pysäytettyjen ja sitten vapaasti törmäämään päästettyjen kappaleiden törmäysaika (törmäysmatka 0,5m), niin T/t = 4sqr2.

249. Matti8.3.2013 klo 12:12

Eilen vielä hyökkäsin tämän kimppuun, mutta ristiriitoihin ei tullut selvyyttä. Omasta puolestani tämä on nyt tässä.

250. Antti18.4.2013 klo 05:12

1 6 7 52 53 58 59 504 505 ?

251. Jaska18.4.2013 klo 20:07

Taitaa Antti taas jekuttaa jakojäännöksillä:)

252. Antti19.4.2013 klo 06:12

Jaska, en käytä jakojäännöksiä. Mutta mietipä, minkä lukujen numeromäärä kasvaa nopeasti, nopeammin kuin seuraavien:
1, 2, 3, ..., 9, 10, 11, ... .

253. Jaska19.4.2013 klo 12:06

Numeromäärä? Tarkoitatko numeromerkkejä (digit)? Luvuissa 0-9 siis yksi numero, 10-99 kaksi numeroa, 100-999 kolme numeroa jne. Siinä tapauksessa vastaus kasvukysymykseen voi olla a) kymmenjärjestelmää vähempinumeroiset lukujärjestelmät, b) mahdollisesti geometrisessa sarjassa kasvava kymmenjärjestelmään kuuluva lukujoukko määrätyin keksimistä vaikeuttavin lisäehdoin, joita en nyt ehdi pohtimaan.

254. Antti19.4.2013 klo 12:32

Jaskan kysymykseen vastaan: Kyllä tarkoitan numeromerkkejä. Ratkaisu löytyy käyttämällä kymmenjärjestelmää ja sen ohella jotakin lukujärjestelmää, jonka kantaluku on pienempi kuin 10.

255. Matias-Myyrä20.5.2013 klo 11:35

Viime yönä sen jälkeen kun suljin tietokoneen ja odottelin sängyssä nukkumatin tulemista, keksin tämmöisen tehtävän:

Eräänä vuonna oli kaksi sellaista kuukautta, johon sisältyy viisi viikonloppua (pe-su). Mikä oli toinen noista kuukausista!

(Siis vastaus on yksi kuukauden nimi, ei kahta!
Älä kerro heti vastausta. Sano "hep", kun arvelet tietäväsi vastauksen. Anna muidenkin miettiä jonkun aikaa.)

256. Matti20.5.2013 klo 14:17

hep

257. Wexi20.5.2013 klo 15:51

hep

258. Jaska20.5.2013 klo 16:39

Hep. Päässälasku vahvisti knopin, jos se siksi oli tarkoitettu.

259. Matias-Myyrä20.5.2013 klo 16:52

Jos osaatte perustella, miksi kyseisen vuoden niistä kahdesta kuukaudesta vain toinen on oikea vastaus ja toinen on väärä, olette mahdollisesti löytäneet oikean vastauksen.

260. Jaska20.5.2013 klo 17:10

Minulla on siis väärä oikea vastaus.

261. Matti20.5.2013 klo 17:33

Nyt en tajuu mitään.

262. Wexi20.5.2013 klo 17:49

Hakuammunnalla (ekalla) osuin vuoden "pisimpään" kuuhun jokunen vuosi sitten (oletuksella, että haetaan järjestyksessä toista kuuta).
Sitten silmäilin eräällä tavalla "vastakohtaista", järjestyksessään ensimmäistä kuuta, mutta se ei mielestäni toteudu.

263. Maikki20.5.2013 klo 18:10

hep

264. Matias-Myyrä20.5.2013 klo 18:18

Annetaan miettimisaikaa klo 20.00 asti. Sen jälkeen saa vastata. Mielellään perusteluineen.

265. Tiio20.5.2013 klo 18:35

Hep ja luulen ymmärtäväni Matias-Myyrän knopin (tai ainakin keksin jotain perustetta)

266. Matias-Myyrä20.5.2013 klo 20:47

Jos kukaan ei rohkene kertomaan vastausta, kerron sen klo 21.00.

267. Tiio20.5.2013 klo 20:50

Pitänee minun aloittaa, kun kerkisin kehumaan luuloillani. Lokakuu on kyseessä. Perustelu (joka tuskin on oikea): lokakuun kaikki vikonloput ovat samalle vuodelle numeroiduilla viikoilla. (Toinen vaihtoehto voisi olla vuodenvaihteeseen liittyvä ajan entraus, niitä sekunnin osia joskus poistetaan tai lisätään, mutta en ruvennut niitä tarkistamaan.)

268. Matias-Myyrä20.5.2013 klo 20:55

Lokakuu on väärä vastaus.

269. Tiio20.5.2013 klo 20:56

Voi se olla niinkin, että Matiaksen mielestä lokakuussa on yksi ylipitkä viikonloppu, joten se ei ole kunnollinen ja vastaus onkin tammikuu.

270. Matias-Myyrä20.5.2013 klo 20:59

Tammikuu on oikea vastaus. Kohta tulee perustelut.

271. Wexi20.5.2013 klo 21:01

Vuonna 2010 oli Tiion mainitsema tapaus (edellä jo vihjaisin).
Maaliskuussahan sopivasti sattuessa se yksi viikonloppu on tunnilla lyhyempi, mutta silloin ei osu "viikonloppuja" samalle vuodelle.
Saattaa olla myös joku lapsekas kompa, mene ja tiedä?

272. Matias-Myyrä20.5.2013 klo 21:01

Kerron nyt oikean vastauksen perusteluineen.

Viisi viikonloppua (pe-su) mahtuu vain kuukausiin, joissa on 31 päivää
(Tam, Maa, Tou, Hei, Elo, Lok, Jou) ja vain silloin, kun ne alkavat perjantailla.
Kuukauden viimeinen päivä on siis silloin sunnuntai.

Silloin, kun ei ole karkausvuosi, samalla viikonpäivällä alkavia kuukausia ovat:
Tam+Lok, Hel+Maa+Mar, Huh+Hei, Syy+Jou.
Näistä liian lyhyitä kuukausia ovat Hel,Mar,Huh,Syy, joten
ainoaksi mahdolliseksi pariksi jää Tam+Lok.

Silloin, kun on karkausvuosi, samalla viikonpäivällä alkavia kuukausia ovat:
Tam+Huh+Hei, Hel+Elo, Maa+Mar, Syy+Jou
Kun näistä poistetaan liian lyhyet kuukaudet, jää mahdolliseksi pariksi vain Tam+Hei.

Kun tehtävässä ei kerrottu mistä vuodesta oli kysymys, ei voida tietää oliko se karkausvuosi.
Siis tammikuu on oikea vastaus. Se on aina mukana silloin, kun viisi viikonloppua on kahdessa kuukaudessa samana vuonna.

273. Jaska20.5.2013 klo 21:07

Matti taisi ihmetellä, miten minun oikea vastaukseni on väärä. Huomasin sen Matias-Myyrän mainittua 16:52 "kyseisen vuoden." Minun ratkaisuni on yleispätevä kaikille niille karkausvuosille, joina tammikuun 1. päivä on perjantai. Silloin myös heinäkuun 1. on perjantai. Pikaisella kelauksella näyttää, että muulloin ei kahta viisiviikonloppuista kuukautta ei voi olla.

Itse asiassa tuo ei ole mikään knoppi, ei ainakaan hauska sellainen. M-M:n ratkaisussa on varmaan jokin oveluus, jota en vain hoksaa. Liittyisikö vaikkapa IS-viikonloppuihin:)

274. Jaska20.5.2013 klo 21:21

Tosiaan, helmikuun 1 päivästä ma lokakuun neljänteen ma on 34 viikkoa, joten siitä - 3 on perjantai. Olihan siinä siis asiaknoppi. Hauska se ei ole, koska laskin ensin väärin:)

275. Matias-Myyrä20.5.2013 klo 22:06

Hieman eri tavalla tiivistettynä vielä sama asia: Viiden viikonlopun kuukausi kahdesti samana vuonna on mahdollista vain, jos uudenvuodenpäivä on perjantai. Se mistä kuukaudesta ne muut viikonloput löytyvät, riippuu siitä onko vuosi karkausvuosi.

276. Matti20.5.2013 klo 23:50

Kun lukee huolella M-M:n tehtävänannon, niin noinhan se on tulkittavissa. En vaan tajunnut, miksi tammi-loka (ei karkausvuosi), tammi-heinä (karkausvuosi) olisi väärä vastaus.

277. Jaska25.5.2013 klo 11:15

Vilkaisin taas joutessani Antin yli kuukauden takaista mysteeriä. On kyllä ylivoimaisesti vaikeampi kuin alkulukukaksosten ja Goldbachin todistaminen:)

Jollain lailla sopisi kuusi- ja kymmenjärjestelmien vuorottelu, en vain käsitä, mitä ideaa siinä olisi paitsi pyrkimys korkeaan vaikeusasteeseen. Tällä tavoin sain erääksi mahdolliseksi jonon jatkoksi 630, 631. Se tuskin on Antin idea. Joten panepa Antti ratkaisusi syntymekanismeineen jo näytille, kiitos.

278. Jaska25.5.2013 klo 11:57

2, 3, 10, 12, 21, 23, 32, 34, 43, 104, 111, 131, 133...

Huomio/päätelmä?

279. Antti26.5.2013 klo 00:38

Tätä kysyin muinoin:
1 6 7 52 53 58 59 504 505 ?
a(j) = j
c(j) = j 2-järjestelmään muunnettuna, siis
c(1)=1, c(2)=10, c(3)=11, c(4)=100
b(j) = c(j) 10-järjestelmän luvuksi tulkittuna, kaksijärjestelmää tuntemattoman käsittämänä.
Ratkaisu: x(j) = {a(j)+b(j)}/2
x(10) = 510

280. Jaska26.5.2013 klo 14:25

Noinkin yksinkertainen, tai oikeastaan puolikertainen. Ilman puolittamista olisi voinut olla hoksattavissa. Tai ehkä ei.

Antin huomio ja päätelmä erittäin paljon helpommasta elisestä jonostani?

281. Antti26.5.2013 klo 15:37

Jaska, jonosi näyttää jonoani verrattomasti vaikeammalta.

282. Jaska26.5.2013 klo 20:46

Kas perhanaa, niinpä onkin, tuollaisena siis. Puuttuu 122, joka kuuluu 111:n ja 131:n väliin. Pyydän anteeksi huolimattomuusvirhettäni. Uusiksi ja vähän lisää, sitten ratkennee:

2, 3, 10, 12, 21, 23, 32, 34, 43, 104, 111, 122, 131, 133, 142, 203, 214, 221...

283. Antti27.5.2013 klo 07:35

Jaska, edellisen viestisi toinen sana ei kuulu sanavarastooni.
Jonosi luvut ovat pienimmästä alkaen lueteltuja alkulukuja viisijärjestelmään muunnettuina.

284. Jaska27.5.2013 klo 11:21

No voihan perhonen. Pahoititko Antti mielesi lievästä voimasanasta? En sitten käytä sitä enää tässä ketjussa.

Huomiosi on oikea. Tosin tarkoitukseni oli havaituttaa, että jonon kunkin luvun numeroiden summa luvusta 12 alkaen on alkuluku. Knoppina oli mahdollinen väärä päätelmä, että näin olisi jatkossa kaikkien alkulukujen laita.

285. Wexi27.5.2013 klo 12:18

Ei himpskatissa.
Ennen oli niin mukava käydä kurkistelemassa matemaattisia pohdintoja, vaikka en niitä √ ymmärräkään.
Mutta tapainturmelus nostaa päätään tälläkin säikeellä. Synkkä noituminen ja voimallisten sanojen käyttö on erityisen tuomittavaa silmälläpitäen laajaa varhaisaikuisuuteen kypsynyttä lukijajoukkoa, joiden herkkää sieluntilaa moinen saattaa haavoittaa ikävin seurauksin.
Jos tämä meno jatkuu, niin yleisillä paikoilla yleistyvät ikävät mielenilmaukset:
"No jopas nyt onkin"
"Auta armias"
"Peijooni"
"Hiisi vieköön"

EI HYVÄ!

286. Antti27.5.2013 klo 12:35

Wexi, oivan juuri-sanan lyhenteen olit löytänyt.
Jaska, perheeni jälkikasvun olen opettanut olemaan pimeän puolen asukkien nimiä käyttämättä. Ja näin on hyvä.

287. Jaska29.5.2013 klo 18:50

Nyt seuraisi Antin vieroksumaa sanastoa, ellen olisi luvannut olla käyttämättä sitä tässä säikeessä. Alkulukukaksostodistukseni oli väärä. Niinkuin liirumlaarumissa arveltiinkin. Periaate eli jaollisten laskeminen on oikea, mutta kaava on väärä. Nyt käsittämättömässä mielenhäiriössä jätin siinä noteeraamatta tuplaosumat, eli esittämäni summasarja ei lähene äärettömiin lukua 1, vaan lukua 2. Edessä siis paluu lähtöruutuun ja siitä etsimään helpompia reittejä.

Seuraava jono herättää kysymyksen, esiintyykö siinä 0, ja millä tiheydellä se mahdollisesti esiintyy. Mistä siis kyse?

12, 1, 14, -3, 16, -7, -36, -5, 32, -9, 34, -13...

288. Antti30.5.2013 klo 07:35

Jaska, olen yrittänyt parhaani, mutta ratkaisua en ole löytänyt.

289. Jaska30.5.2013 klo 12:52

Jono siis muodustuu ynnäämällä ja vähentämällä kuudella jaollisten lukujen naapurialkulukuja: 5 + 7 - 11 + 13 - 17 + 19 - 23 - 29 + 31 + 37 jne. 6n + 1 siis lisätään ja 6n - 1 vähennetään.

Kysymykseen, esiintyykö jonossa nolla vai ei, ei ehkä löydykään säännönmukaista ratkaisua. Alkukuun 1009 mennessä nolla ei esiinny. Lähimmät luvut ovat 1 ja -2.

Voisi tietysti pikaisesti päätellä, että nolla ei esiinny lainkaan. Samoin voisi olla, että peräkkäisten ylä- ja alanaapurien summajonoissa ei esiinny lainkaan samaa summaa. Todistaminen vaikuttaa haasteelliselta tehtävältä.

290. Jaska30.5.2013 klo 12:58

Siis nyt loppukuun puolella laskin alkulukuun 1009 saakka. Alkukuun puolella ehkä jatkan siitä ylöspäin:)

291. Matti30.5.2013 klo 13:23

Jonon alku on siis tietysti -5, joten Jaskan luvuista täytyy vähentää 10. Mahtaako nyt 0 tulla vastaan?

292. Jukkis30.5.2013 klo 16:08

Jaskan virheellisesti aloittama jono menee ekan kerran nollaksi luvun 3833 kohdalla. Matin korjaama jono jo 409:n kohdalla.

293. Jaska30.5.2013 klo 16:29

Kiitokset Matille/Jukkikselle huomautuksesta ja ratkaisusta. Tosin virhe on makuasia.

294. Jukkis30.5.2013 klo 17:07

Näin jonon 100006 ekaa termiä menee:
aijaa.com/0tRJdv

Vaaka-akselilla alkuluvut, suurin mukaan tullut on 1299827.

Potentiaalisia nollia on aika paljon, mutta todellisuudessa tällä välillä jonossa on vain kolme nollaa, lukujen 409, 443 ja 3821 kohdalla.

295. Wexi11.7.2013 klo 20:27

Voi tuntua hämärältä, mutta katsotaan... (vielä kun osaisi selittää sen:-)

5, 17, 37, 101, 197...

296. Jaska12.7.2013 klo 12:08

257, 401, 577...

Kristallinkirkashan tuo jono on, mutta eri juttu on siis siihen johtava lainalaisuus.

297. Wexi12.7.2013 klo 12:12

Tiedä hänen lainalaisuuksista, mutta...

Tuo edellinen litania liittyy tokaisuuni Liirumlaarumissa (5.5.2013 klo 19:19), jolla saatoin itseni häpeään.

Silmäilin päivemmällä Marcus du Sautoyn opastamaa tiededokumenttia "Koodien maailma", ja muistin tuon "kömmähdykseni".
Hetken mietittyäni päädyinkin korjaamaan sanomaani: "Alkuluku joka neljällä jaettuna jättää jakojäännöksen 1, on ilmoitettavissa kahden eri luvun neliön summana" (jotenkin silleen).

Edellisessä numerosarjassa on mukana ko. alkulukuja joissa tuo toinen "neliöitävä luku" on 1.
Esim. 5=2²+1²; 17=4²+1²; 37=6²+1²; 101=10²+1²; 197=14²+1²... Seuraava on 257=16²+1².

298. Antti16.7.2013 klo 08:42

Seuraavassa ei ole mitään teoreettista ongelmaa. On vain kertauksen mahdollisuus erinomaisen viitseliäille tai taulukkolaskentaohjelman matriisifunktioiden käytön mahdollisuus viitseliäille. Ellei tehtävä mitään anna, jättäös se.

A-matriisi on

1 1 1 1 1 2
1 1 1 1 2 2
1 1 2 2 2 4
1 2 2 4 8 8
2 4 4 4 8 8

ja v-vektori on [11 13 19 37 41 50]-vektorin transpoosi.

Ratkaise matriisiyhtälö Ax=v.

299. Olavi Kivalo16.7.2013 klo 23:02

"Seuraavassa ei ole mitään teoreettista ongelmaa." Eikö?
Vektori x on {x1,x2,...,x6}. Vektorissa v tulee olla 5 elementtiä eikä 6.

300. Antti17.7.2013 klo 03:32

Pyydän anteeksi kopiointivirhettä.

A-matriisi on

1 1 1 1 1 2
1 1 1 1 2 2
1 1 2 2 2 4
1 2 2 2 8 8
1 2 2 4 8 8
2 4 4 4 8 8

ja v-vektori on [11 13 19 37 41 50]-vektorin transpoosi.

Ratkaise matriisiyhtälö Ax=v.

301. Olavi Kivalo17.7.2013 klo 08:17

x = Inverse[a].v = {1, 2, 2, 2, 2, 1}

302. Antti17.7.2013 klo 08:49

Valmiilla funktioilla homma tosiaan käy leikiten.

303. Olavi Kivalo20.7.2013 klo 19:41

A-matriisi on

1 1 1 1 1 2
1 1 1 1 2 2
1 1 2 2 2 4
1 2 2 4 8 8
2 4 4 4 8 8

ja v-vektori on [11 13 19 37 41]-vektorin transpoosi.

Ratkaise matriisiyhtälö Ax=v.

Ratkaise matriisiyhtälö Ax=v.

304. Olavi Kivalo20.7.2013 klo 19:43

Kerran vielä pojat:

Ratkaise matriisiyhtälö Ax=v.

↶ Takaisin aiheisiin Siirry ylälaitaan ↑

KOMMENTOI

6940. Lukujono 11

Lähettäjä: *

Teksti: *