KESKUSTELUT > MUUT AIHEET > LUKUJONO 16
↶ Takaisin aiheisiinSiirry alalaitaan ↓

8545. Lukujono 16

Matti10.8.2015 klo 20:29
Jatketaan lukujonopulmailuja täällä.

Juhani Heino 10.8.2015 klo 19:27

Laitan sitten ainakin välipalaksi oman jononi jatkoa, samalla periaatteella kaksi sellaista jonka aloitusluvut ovat keskenään jaottomia. Huomaatteko säännöllisyyden?
2,3,5,7,8,9,10...
3,5,8,11,13,14,16,17...
2. Jaska10.8.2015 klo 22:51
Huomaamme. Kahden ekan keskenään jaottoman tulo ei esiinny missään jonossa.

Oikein kirkkain silminkö sinä Juhani esität unohtaneesi kommenttini "Juhani Heinokin, hirmuisesta tuloksestaan huolimatta" IS-kovissäikeessä 1996:)
3. Jaska11.8.2015 klo 00:19
13*13-alueen rekka on muuten 86. Viime päivityksessä oli 85.
4. Juhani Heino11.8.2015 klo 01:08
Hyvä, siinä oli huomion eka osa: lukujen tulo ei kuulu jonoon. Mikä on jatkohuomio?

Jaska, tuon kommentin olin tosiaan jo unohtanut, mutta hämärä muistikuva oli että olen saanut nimesi jotain kautta. Joka tapauksessa, haluatko nimelläsi esille OEIS:ssä?
5. Olavi Kivalo11.8.2015 klo 01:41
Mistä tuo a(13)=86 tulee? A181018:ssa on termejä vain a(12):een asti.
6. Wexi11.8.2015 klo 01:59
[Nuuskinnan jälkeen päädyin toteamaan, että "Pallo hukassa" :-)]
7. Jaska11.8.2015 klo 12:09
86 ei ollutkaan varma tapaus, tein näet yön huuruissa päättelyvirheen. Yritän vielä uudelleen toisella idealla, koska "musta tuntuu."

Juhani, olen jo sallinut OEIS:n OK:n kautta, jos sinne hyväksytään. Mitään erityisiä haluja ei tosin ole.
8. Juhani Heino11.8.2015 klo 14:13
Laitoin OEIS-päivityksen. Se odottaa toimittajan moderointia, joten ei vielä näy julkisessa versiossa, mutta edelliseen säikeeseen laittamassani luonnoslinkissä on.
9. Antti11.8.2015 klo 15:33
Seuraavassa hypotenuusoja. Kateetit ovat kokonaislukuja. Toisen kateetin pituus on toisen pituuden tietty sama lauseke. Mitkä ovat kateetit?

5 17 39 333
10. Olavi Kivalo11.8.2015 klo 16:21
Kertoisitko Juhani mitä päivityksesi pitää sisällään. Kun nyt ollaan näitä yhdessä väännetty.
11. Olavi Kivalo11.8.2015 klo 16:49
All right I found it.
12. Juhani Heino11.8.2015 klo 18:04
Ja nyt on näköjään jo julki.
13. Jaska12.8.2015 klo 00:12
Musta ei enää tunnu, että 86 voisi olla 13*13-rekka. Olen vakuuttnut, että se on 85. Todistusta en tosin keksinyt:(

Antin tehtävä on - anteeksi - jotenkin epämääräinen. "Tietty sama lauseke" - niin, mikähän niistä monista tietyistä. Ei selviä ainakaan minulle ilman mittavia kokeiluja. Sanotaan nyt vaikka: lyhyempi kateetti on 1 ja pitempi hypotenuusa miinus yhden neliöjuuri. Toteutuu myös Antin luvuilla:)

Oman kolmiopulmani ratkaisun esitän huomenna, ellei hillittömiä protesteja ilmaannu.
14. Antti12.8.2015 klo 04:05
"Kateetit kokonaislukuja ja lyhyempi kateetti on 1 ja pitempi hypotenuusa miinus yhden neliöjuuri." Ei toteudu luvuillani.
15. Juhani Heino12.8.2015 klo 09:23
Antin kateetit ovat ilmeisesti
5: 4 3
17: 8 15
39: 15 36
333: 108 315
ja y=3x-9
16. Juhani Heino12.8.2015 klo 09:46
Jaska ilmeisesti tarkoitti tätä joka hautautui laattailun alle (yök):

Aivan, hypotenuusa on pitempi kateetti + 1. Kolmioiden sivut ovat siten:

3-4-5
5-12-13
7-24-25
9-40-41
11-60-61
13-84-85 jne.

Oma laskutapani antanee osviittaa: kolmion kokonaispinta-alasta vähennetään tietty yhteispinta-ala, joka ruutupaperille piirretyistä kolmioista on helppo silmämääräisesti laskea. Sitten on vain luotettava päättelyyn, että näin sen pitää jatkua hamaan äärettömyyteen.

Ekassa 3*4-kolmiossa 3 on sisään jäävien kokonaisten ruutujen pinta-ala, ja samalla siis osittaisten ruutujen pinta-ala. Mutta 5*12-kolmiossa tämä ei enää pädekään, eli en keksinyt ainakaan vielä.
17. Juhani Heino12.8.2015 klo 09:50
Hetkinen, alkuperäinen jono olikin:
3, 8, 15, 24, 35, 48, 63, 80, 99, 120, …
Joten jätän sittenkin arvauksen voimaan - 5*12-kolmion koko ala on 30 ja saattaa tuossa kokonaisia ruutuja olla 22.
18. Antti12.8.2015 klo 10:16
Juhani Heino, ratkaisit oikein pulmani.
19. Jaska12.8.2015 klo 12:50
Juhani Heinon ratkaisu oikein: hypotenuusan leikkaamien ruutujen kolmion sisäpuolelle jäävien ruudunosien yhteispinta-ala.
20. Juhani Heino12.8.2015 klo 13:33
Jep, nyt ei olla enää ruutupaperin varassa, vaan kehitin kaavan (takuulla vanha juttu tämäkin, mutta pyörän keksiminen uudestaan on mulle tuttua). Kun kateetit ovat keskenään jaottomat x ja y, leikattujen ruutujen määrä on x+y-1. Ja koska kuvio on symmetrinen, Jaskan hakema sisäosuus on (x+y-1)/2. Eli 4, 3 -> 6/2 = 3.
5, 12 -> 16/2 = 8.
21. Jaska12.8.2015 klo 18:59
Antin kateettien ei pitänyt kokonaislukuina olla kovin hankalia, joten annan itselleni miinuksen vitsailustani. Siihen lipsahti virhekin, kateetit ovat tietysti 1 ja neliöjuuri hypotenuusan neliö miinus yhdestä. Ei siis hypotenuusa miinus yhdestä.
22. Matti12.8.2015 klo 21:41
Tällainen juttu tuli mieleen. Yksinkertaisin Pythagoraan kokonaislukukolmio on epäilemättä tapaus 3, 4, 5. Kolmion konstruoiminen viivoittimen ja harpin avulla on yksinkertaista. Piirretään kaksi kohtisuoraa, valitaan pituusyksikkö a, erotetaan toiselta kohtisuoralta risteyksestä alkaen mitta 3a ja toiselta mitta 4a. Yhdistetään saadut pisteet hypotenuusaksi.

Mutta löytyy helpompikin tapa, jossa tulos tulee yrittämättä, ikäänkuin vahingossa. Piirretään taas kaksi kohtisuoraa ja valitaan pituusyksikkö a. Sitten piirretään kaksi ympyränkaarta, ja homma on lähes valmis. Millainen on tämä geometrinen konstruktio?
23. Jaska12.8.2015 klo 23:30
Helpompi tapa tarkoittanee, ettei tarvitse mitata kuin yhden kerran. Valitaan siis tietty ympyrän säde ja kaksi keskipistettä. Tuntuu mahdottomalta hahmottaa, kun ei ole harppia. Sitä paitsi sen avulla piirtäminen vie enemmän aikaa kuin kolmen suoran viivan vetäminen ruutupaperille. Viivoitin näet on!
24. Olavi Kivalo13.8.2015 klo 00:09
Kerran piirretään toinen samansäteinen ympyrä keskipiste ensimmäisen piirillä. Sen piiri leikkaa ensimmäisen ympyrän piirin, josta leikkauskohdasta piirretään kohtisuora ympyröiden keskipisteitä yhdistävän viivan suhteen. Siinä on 3,4,5 kolmio.
25. Matti13.8.2015 klo 00:43
OK, joo, se on siinä. (Täsmennän huomenna.)
26. Antti13.8.2015 klo 05:44
3, 10, 35, 126, 462, 1716, 6435, ?
27. Jukkis13.8.2015 klo 15:16
En minä ainakaan tajua Olavi Kialon reseptiä. Sen alun sanamuotokin on niin kummallinen, että sitä ihmetellessä menee aluksi tovi: "Kerran piirretään toinen samansäteinen ympyrä.." Miksi ihmeessä siinä on tuo "kerran"? Ja miksi ohjeen ihan alussa pyydetään piirtämään toinen ympyrä? Luulisi, että ensimmäiseksi pitää piirtää ensimmäinen ympyrä.

No, piirsin kaksi samansäteistä ympyrää, jälkimmäisen keskipiste ensimmäisen kehällä. Sitten viiva keskipisteestä toiseen. Sitten viiva ympyröiden laikkauspisteiden välille. Se viivahan on kohtisuorassa keskipisteet yhdistävän viivan kanssa.

Tuloksena neljä samanlaista suorakulmaista kolmiota. Jos niiden lyhyempi kateetti = 3, niin pidempi kateetti on 3*sqrt(3) ja hypotenuusa on 6.

Joten?
28. Wexi13.8.2015 klo 18:41
Noilla vierekkäisillä ympyröillä ei, ainakaan minun opeilla, pääse 3:4:5 suhteisiin (30° kolmiot kyllä löytyy).
Verestelin 35:n vuoden takaisia muistikuvia tekuajoilta, ja viivottimen sekä harpin avulla on piirrettävissä ko. kuvio.
Pikkuisen siinä täytyy "täriä" nuo "ympyrän sivuamiset". Mittailin tuherrusta, ja näyttää suhteet toteutuvan:
[https://goo.gl/wdW8Yg]
29. Olavi Kivalo13.8.2015 klo 19:11
Tä? Jukkis lienee parantumaton tosikko. Kerran tarkoittaa kerran, koska Jaska arvelee, että "Helpompi tapa tarkoittanee, ettei tarvitse mitata kuin yhden kerran." No, Matti lupasi auttaa.
30. Matti13.8.2015 klo 21:36
Luin OK:n ratkaisun huolimattomasti. Omani onkin eri.

Piirretään koordinaattiakselit ja valitaan yksikkö. Piirretään ympyräneljännes positiiviseen kvadranttiin, keskipiste (0, 1) ja säde 1. Piirretään puoliympyrä samaan kvadranttiin, keskipiste (0.5, 0) ja säde 0.5. Kaaret leikkaavat pisteessä (0.8, 0.4) kuten on helppo nähdä (pisteen koordinaatit toteuttavat molempien ympyröiden yhtälöt). Piirretään vielä pystysuora leikkauspisteen kautta.

Saadaan kaksikin haluttua kolmiota, suurempi (0, 1), (0.8, 1) ja (0.8, 0.4) ja pienempi (0.5, 0), (0.8, 0) ja (0.8, 0.4).
31. Matti13.8.2015 klo 22:28
Wexin konstruktio on vähintäänkin mielenkiintoinen. Se antaa todella 3,4,5 -kolmion. Mutta aukko on siinä, että ei ole mahdollista (luvallista) piirtää ympyrää, joka kulkee kahden annetun pisteen kautta ja sivuaa annettua suoraa. Itse asiassa ei ole luvallista piirtää ympyrälle tangenttia joka kulkee ympyrän ulkopuolella olevan pisteen kautta. Pitää tietää sivuamispiste. Sitten voidaan piirtää suora joka kulkee kahden pisteen kautta.

Mutta ei Wexin kuvion "laillisen" piirtämisen tarvitse mahdotonta olla. On tatkaistava probleema: Piirrä harppia ja viivotinta käyttäen ympyrä, joka kulkee kahden annetun pisteen kautta, ja joka sivuaa suoraa, joka on pisteiden välisen yhdysjanan suuntainen. Itse en ainakaan heti osannut probleemaa ratkaista.

Wexin piirrosprobleema voidaan tietysti ratkaista takaperin. Kun tiedetään, että ympyrän keskipisteen etäisyys neliön kattoviivasta on 3/8 neliön sivusta, ympyrä voidaan piirtää. Mutta tämä on jo turhan konstikas tapa 3,4,5 -kolmion konstruoimiseen.
32. Matti13.8.2015 klo 23:37
Nyt hiffasin miten Wexin ympyrän keskipiste löytyy harppia ja viivoitinta käyttäen. Se on janan, jonka päätepisteet ovat neliön alasivun keskipiste (haetun ympyrän sivuamispiste) ja yläsivun reunapiste, keskinormaalin ja neliön pystyhalkaisijan leikkauspiste. Näin Wexin esittämä konstruktio antaa vaihtoehtoisen ratkaisun 3,4,5 -ongelmaan.
33. Jukkis13.8.2015 klo 23:38
Kivalo saa haistaa pitkän paskan. Luulee keksineensä ratkaisun ja kun joku toteaa sen olevan puuta heinää, niin Kivalo ei kehtaa tunnustaa omaa tyhmyyttään vaan haukkuu tosikoksi. Pilkkaa nyt sitten seuraavaksi Mattia, joka uskoi tuon ratkaisun olevan oikein.
34. Jaska14.8.2015 klo 11:18
"Mutta löytyy helpompikin tapa, jossa tulos tulee yrittämättä, ikäänkuin vahingossa."

Jos oli Olavi Kivalon ratkaisu tahaton virhe, niin oliko Matin arvio hommasta tahallista kusetusta:)

Antilla jatkuu 24310. Pascalin keskipystyn viereinen rivi ilman alkuykköstä, joten tarkoittanee 3 yli 1, 5 yli 2, 7 yli 3, 9 yli 4...

Tuollaisena ihan pehmis, mutta onhan jonolla yhtymäkohtia ties mihin. Mutta niitähän Antti ei kysynyt.
35. Antti14.8.2015 klo 11:37
Jaskan löytämä 24310 on oikea ratkaisu.

Sen saa myös Excelin funktiolla: a(j) = MULTINOMI (j; j+1)

= KERTOMA (j+j+1)/(KERTOMA(j)*KERTOMA(j+1))
36. Antti14.8.2015 klo 11:49
Kyllähän Jaskan mainitseman alkuykkösen saa mukaan
aloittamalla a(j)-jono a/0)-arvosta.
37. Olavi Kivalo14.8.2015 klo 12:15
Riittäiskö - tuota - vain keskikokoinen?
38. Jaska14.8.2015 klo 12:47
Joo, tietysti pitää alkaa nollasta, vaikka se ei esiinny itse kolmiossa.
39. Jaska14.8.2015 klo 12:53
Pascalin kolmiossahan ei esiinny lukua nolla, mutta toki ykkönen saadaan jonoon mukaan ilman sitäkin (kauttaviiva yli-merkkinä): 1/1, 3/2, 5/3, 7/4 jne.
40. Olavi Kivalo14.8.2015 klo 13:57
En tiedä kiinnostaako tämä enää ketään, mutta itseäni huvittaa kovasti tuo Matin ongelman antihaasteellisuus ja kuvitelmani, että sellaisena se sopisi erinomaiseksi haasteeksi "yön huuruissa". Otin siis tiukaksi reunaehdoksi sen, että ratkaisun pitää tulla "yrittämättä, ikäänkuin vahingossa". Päätin siis yrittää ongelman ratkaisua olemalla samalla yrittämättä. Pyrin myös olemaan pyrkimättä oikeaan tulokseen, koska sen oli määrä tulla vahingossa. Luulenpa, että onnistuin hyvin mitä asenteeseen tulee. Tuota luvattua vahinkoa ei vain tapahtunutkaan. Oliko niin, että koko juju olikin siinä, että ratkaisun olikin määrä tulla ikäänkuin vahingossa.
41. Jukkis14.8.2015 klo 15:39
Mutta oliko ihan pakko sitten jatkaa tuollaisella 11-vuotiaan räkänokan asenteella? "Vitsivitsi, lällällää, Jukkis on parantumaton tosikko ja tyhmä kun ei ymmärrä leikkiä." Ei ymmärtänyt kukaan muukaan. Jos vitsi jää kaikilta tajuamatta, niin vitsin kertoja voisi hiukka miettiä, kenessä vika ennen kuin valitsee yhden vastaajan ivansa kohteeksi.
42. Matti14.8.2015 klo 21:45
Jaska, tahallani en pissattanut ketään☺. Mutta eikös se kolmio vahigossa tullut, kun sitä ei lähdetty edes hakemaan, se vaan ilmestyi. Wexin konstruktiossa neliötä ympäröivää ympyrää ei tarvitse edes piirtää, keskipisteen sijainti riittää. Mutta niin tai näin, olen mökillä vain kännykkä aseenani. Palaan palstalle viikon päästä sikäli kun sanottavaa löytyy.
43. Juhani Heino15.8.2015 klo 20:30
Laitetaanpa todella hämärä, mutta siksi annan vinkin että liittyy go-lautaan, tässä tapauksessa äärettömään kun jono etenee.
4, 6, 7, 8, 8, 9, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 12...
44. Juhani Heino16.8.2015 klo 23:33
Joskus huomenna voin laittaa go-juttuun lisävinkin. Hoidan nyt summajonoa eteenpäin:
Jaska huomasi, että lukujen tulo ei kuulu jonoon. Entä siitä eteenpäin?
45. Jaska17.8.2015 klo 11:20
Siitä eteenpäin +1 jatkuvasti, siis kaikki luvut.
46. Juhani Heino17.8.2015 klo 12:20
Kyllä vain. Haluaako joku vielä todistaa sen? Toistaiseksi olkoon vain konjektuuri eli väittämä, kunnes löytyy omastani riippumaton todistus.

Tässä toinen go-jono. Tämä on maksimaalinen ja eka jono minimaalinen, kulkee samaa tahtia.
4, 6, 8, 10, 12, 14, 16...
47. Jaska18.8.2015 klo 10:11
Piti yrittää oppia gon sääntöjä Wikipediasta. En oppinut tarpeeksi JH:n jonon avaamiseksi. Kivien positioista lienee kyse. Kivienkin lukumäärä lienee ääretön laudan ollessa ääretön?
48. Juhani Heino18.8.2015 klo 10:57
Kyllä, kyse on kivien positioista ja lukumäärästä joka kasvaa äärettömyyteen. Annan vielä vinkin: saartaminen ja vapaudet.
49. Jaska18.8.2015 klo 13:12
Saartamisen minimi on kylläkin 3 kiveä. Aloitan mustilla ja panen kiven laudan kulmaan. Sinä alat saartaa ja minä tällään kaksi seuraavaa jonnekin hevon havupuuhun. Kolmen siirtosi jälkeen kulmakiveni on siis nalkissa ja sinulle ropisee pojoja?
50. Juhani Heino18.8.2015 klo 14:28
Jos laitat kulmaan, saartamisen minimi on 2, vain vaakaan ja pystyyn. Siitä ei siis ole kyse, vaan...
51. Jaska18.8.2015 klo 21:51
No sitten ainakin yhden orvon vastustajan kiven saartamiseen tarvitaan maksimissaan neljä omaa. Useampien saartamiseen enemmän.
52. Juhani Heino18.8.2015 klo 22:03
Sieltä se vastaus löytyy. Ei lie liiallinen paljastus, että ollaan laudan keskellä, ilman reunaefektejä.
53. Jaska19.8.2015 klo 11:22
Maksimijono muodostuu saarrettavien kivien ollessa samalla suoralla. Minimi saarrettavien ollessa mahdollisimman "klimpissä."
On tietysti myös tolkuton määrä välimuotoja.

Ostin muuten harpin, 2,95, poikien kyseinen väline seuraavan:

0, 4, 16, 32, 60, 88, 120, 164, 208, ?
54. Juhani Heino19.8.2015 klo 14:45
Juuri noin, Jaska keksi idean täsmälleen. Haluaako joku vielä kommentoida klimpin rakentumista? Jos vaikka löytyisi vielä tiiviimpi systeemi.
55. Juhani Heino19.8.2015 klo 17:28
Jos oma klimppisysteemini on optimaalinen, siinä kyllä näyttää hämmästyttävästi toteutuvan a(n)=ceiling(2+sqrt(8*n-4)).

Koska mulla on vain arvaus Jaskan jonosta, en kerro vielä - annetaan muille tilaisuus parempaan perusteluun.
56. Olavi Kivalo20.8.2015 klo 09:03
Kerran vielä laatta/parkkipaikka-ongelmasta. Jotain valmista sentään tuli symmetriapohjalta. Kiitos Giovanni Restan. Katso A261212.
57. Juhani Heino20.8.2015 klo 22:38
Hienoa! Jännä tuo a(29) joka päihittää Matti-asettelun.
58. Jaska20.8.2015 klo 22:57
Mulle ei OK:n tiedoilla yhtään osumaa?
59. Juhani Heino20.8.2015 klo 23:09
Mulle kävi samoin - se on niin tuore ettei Google vielä löytänyt. Laita jonon nimi OEIS:n hakukenttään niin sitten löytyy.
60. Matti23.8.2015 klo 23:45
Mielenkiintoista. Symmetriavaatimus tarkoittaa, että haettava lukujono on nyt eri. Symmetriavaatimus vähentää lukua a(n), tai ei ainakaan lisää sitä. Näyttää siltä, että molemmissa jonoissa a(n)/n^2 lähenee arvoa 1/2 kun n kasvaa rajatta.

Omassa ehdotuksessani a(n) oli aina neliö, kun n oli 3k-1. Symmetrisessä jonossa oli tuo yksi poikkeus, a(29) olikin 401 eikä 400, symmetriaehdon rajoittavasta vaikutuksesta huolimatta. Sitten taas a(32) oli 22^2. Lievä epäilys iski, että olikohan tuo 401 oikein laskettu. Mutta tukahdutan kyllä epäilyn, luotan OEIS:n lukujen oikeellisuuteen.
61. Juhani Heino23.8.2015 klo 23:57
OEIS:ssä oli linkki josta löytyi kuvioita, myös a(29):stä. En tarkastanut ruutu ruudulta, mutta näytti oikealta.
62. Olavi Kivalo24.8.2015 klo 10:35
a(29):ssä kussakin kahdeksassa lävistäjien rajoittamassa kvadrantin puolikkaassa on 44 ykköstä ja kullakin neljästä lävistäjästä lukuunottamatta leikkauspistettä on 12 ykköstä, 8*44+4*12=400. Koska myös lävistäjien leikkauspisteessä on ykkönen, summa on 401.
63. Jaska24.8.2015 klo 19:16
19.8. 11:22 oli kyse jälleen pinta-aloista. Oliko se myös Juhani Heinon arvaus? Harppihan on tässä oleellinen osviitta.
64. Matti24.8.2015 klo 20:09
Näkyy tuo a(29) = 401 oikein olevan.
65. Jukkis24.8.2015 klo 20:36
Olisko Jaskalla näin:

Ruutupaperilla ympyröitä, joiden säteet 1, 2, 3, 4, 5, ... Keskipiste viivojen leikkauspisteessä. Jono = ympyröiden sisälle jäävien kokonaisten ruutujen määrä.
66. Juhani Heino24.8.2015 klo 21:38
Samaa mieltä kuin Jukkis.
67. Matti25.8.2015 klo 21:38
Onko OEIS-kelvollisen jonon täytettävä jokin "mielenkiintoisuus, tärkeys, merkittävyys, ..." -kriteeri jotta se kelpaisi. Eikös Jaskan viimeisin jono, ympyrän sisältämistä neliöistä, pitäisi ilmoittaa mukaan? Vai jääkö minulta nyt jotakin oleellista tajuamatta?
68. Juhani Heino25.8.2015 klo 22:18
Kyllä sen voisi ilmoittaa. Mutta saisikohan siihen kehitettyä ensin simppelin kaavan. Työläämminhän se menee niin, että jokaisen ruutuyksikön kohdalla katsotaan floor(sqrt(r²-x²)). Esim. säteellä 4 ensin kohta 1: 16-1=15 -> 3
kohta 2: 16-4=12 -> 3
kohta 3: 16-9=7 -> 2
Viimeinen kohta jää tietenkin aina nollaksi. Tulos, tässä 8, kerrotaan neljällä että saadaan koko ala, tässä 32.
69. Matti25.8.2015 klo 22:48
Olin tuossa todistavinani, että jos Jaskan jono on a(n), niin a(n)/n^2 on suurempi kuin pii/2 mutta pienempi kuin pii. Selvästikin a(n)/n^2 lähestyy jotakin raja-arvoa, kenties monotonisesti, mutta mitä?
70. Matti25.8.2015 klo 23:00
Näkyisi tuo raja-arvo olevan pii, vai?
71. Jaska26.8.2015 klo 00:06
Jukkaiksen ja Juhani Heinon päätelmä oikein. En ole täysin varma kaikkien tulosten oikeellisuudesta, koska joissakin tapauksissa ruudun kulma näytti tangeeraavan kehää. Kynän jäljen paksuudesta riippuen kulma saattaa ylittääkin kehän millin osilla.

Peräkkäisten termien etäisyydet eli erotusjono on mielestäni aika jännä. Määrätyilllä säteillä saadaan samat etäisyydet. Niistähän joku viitseliäs voi värkätä oma jononsa.
72. Juhani Heino26.8.2015 klo 01:14
Raja-arvo on tosiaan pii, koska tämä on ympyrän pikselöinti eli karkeistus. Mitä enemmän ruutuja, sitä tarkempi kuva eli sitä paremmin kuvio myötäilee ympyrää.
73. Olavi Kivalo26.8.2015 klo 12:51
Jaskaa mukaillen, mikäs tämä olisi:
0, 1, 1, 4, 9, 16, 21, 32, 45, 60, …
74. Olavi Kivalo26.8.2015 klo 21:40
Eikö Jaskan jonon viimeisen luvun tule olla 216? Jos niin, niin Jaskan jono on ylläolevan osajono.
75. Jaska27.8.2015 klo 00:03
216 pitää olla. Ei ollut harppaus, vaan skarppausvurhe.
76. Matti27.8.2015 klo 21:47
Tällaisenkin jonon Jaskan harppitehtävä tuo mieleen:

0 8 64 160 432 728 1112 1816 2712 3992 ...
77. Jaska28.8.2015 klo 00:25
Jaa, tokasta lähtien kaikki 8:lla jaollisi, joten myös kaikki erotukset. Ei nyt heti säteet säteile.
78. Matti30.8.2015 klo 16:00
Tämä on Jaskan harppitehtävä, mutta kolmessa dimensiossa. Kuinka monta yksikkökuutiota mahtuu kokonaan n-säteisen pallon sisään, kun pallon keskipiste sijaitsee kuutioiden särmien leikkauspisteessä.

En näe mitään syytä sille, että luvut ovat 8:lla jaollisia. Mahtaako pitää yleisesti paikkansa.
79. Juhani Heino30.8.2015 klo 19:42
Jos ajattelet että pallo halkaistaan kaikista 0-tasoista, saadaan keskenään samanlaiset lohkot. Niitä on 8, eli mikä tahansa tulos yhdestä lohkosta saadaankin, koko pallossa kuutioita on 8-kertaisesti.
80. Matti30.8.2015 klo 23:36
Kas peijakas, noinhan se juuri menee.
81. Olavi Kivalo2.9.2015 klo 13:42
Lukujononi jatkuu näin:
0, 1, 1, 4, 9, 16, 21, 32, 45, 60, 69, 88, 101, 120, 145, 164, 185, 216, 241, 276, 293, 332, 365, 392, 437, 476, 513, …

Jono on sen 1x1-ruuduista koostuvan nxn-ruudukon kokonaispinta-ala, joka jää ympyrän sisään, jonka halkaisija on n. (Ei ole OEIS:ssa)
82. Jukkis2.9.2015 klo 14:59
Kyllä nyt jänskättää että kuka on se otsaansa tosikon leiman saava, joka uskaltaa huomauttaa, että edellä oleva ei pidä paikkaansa. En minä, minä tässä nauran Kivalon huumoristiselle jonolle. Hahhaa-hahhahhaa.
83. Olavi Kivalo2.9.2015 klo 20:12
Tämähän lähti Jaskan, tuon ideoiden Isarin, jonosta, joten idean lisäksi joka toinen luku on häneltä. Mikäli innostutaan hiomaan se julkaisukuntoon, olisi Jaska pääroolissa.

Valitettavasti tämän kaltaiselle jonolle ei liene mahdollista luoda yhtä yhtenäistä matemaattista lauseketta. Sensijaan tietokoneohjelma oli kohtalaisen helppo tehdä.

(Varmuuden vuoksi: keskustelen tässä siis lukujonosta.)
84. Jukkis2.9.2015 klo 21:20
Millä perusteella jonon toinen termi on 1?
85. Juhani Heino2.9.2015 klo 22:30
Jos ymmärsin oikein, siinä ympyrän halkaisija on 2 ja keskipiste on ruudun keskipiste, ei leikkauskohta.
86. Olavi Kivalo2.9.2015 klo 22:37
Ihan totta. Ympyrän sisään jäävä kuvio on symmetrinen ja samankeskinen ympyrän kanssa.
87. Jukkis2.9.2015 klo 22:53
Millä perusteella kolmas termi sitten ei ole 4?
88. Olavi Kivalo3.9.2015 klo 11:24
Jono on nyt tallennettu OEIS:ään numerolla A261849. Täydennän sitä tarpeen mukaan mm. saatuani Jaskalta kommentit.
89. Jukkis3.9.2015 klo 11:33
En nyt kyllä taas tajua mitään.

Oikeastihan tuo Olavi Kivalon määrittelemä jono menee näin:
0, 1, 4, 5, 12, 21, 24, 37, 52, ...

Jos ympyrän keskipiste on ruudukon yhden ruudun keskellä, niin jono on:
0, 1, 1, 5, 9, 21, 21, 37, 45, ...

Jos ympyrän keskipiste on ruudukon viivojen leikkauskohdassa, niin jono on:
0, 0, 4, 4, 12, 16, 24, 32, 52, ...

Noista kun aina valitsee isomman, saa oikean jonon. Parillisella n:llä ympyrän pitää olla ruudun keskellä ja parittomalla n:llä viivojen leikkauspisteessä, jotta saadaan mahdolisimman isot pinta-alat. En kyllä tarkistanut, päteekö tämä isommillakin n:n arvoilla, ehkä ei välttämättä päde.
90. Olavi Kivalo3.9.2015 klo 14:39
Jononi on rakennettu Jaskan jonon pohjalle. Siinä ruudukko sijaitsee koordinaatistossa niin, että vasen alakulma on origossa ja oikea yläkulma pisteessä (n,n). Ympyrän ja ruudukon keskipisteet ovat pisteessä (n/2,n/2).
91. Jukkis3.9.2015 klo 16:35
No enpä tuollaista rajoitusta ymmärtänyt päätellä. Eihän tuossa "Jono on sen 1x1-ruuduista koostuvan nxn-ruudukon kokonaispinta-ala, joka jää ympyrän sisään, jonka halkaisija on n" noin sanota.

Jos ympyrän halkaisija on esim. 8, niin suurin mahdollinen sen sisään jäävä kokonaisten ruutujen määrä on 37. On tuo minusta mielenkiintoisempi tieto kuin se, että sinne ympyrän sisään jääkin vain 32 ruutua, jos ympyrä asetellaan ruudukolle ei-optimaalisesti.

Sitäpaitsi sinun jonosi on tuon "vasen alakulma on origossa ja oikea yläkulma pisteessä (n,n)" -rajoituksen voimassa ollessa väärin. Toinen termi pitää olla 0.
92. Jukkis3.9.2015 klo 17:21
Eipä tuo minun jononi 3.9.2015 klo 11:33 ole mistään kotoisin. Se yrittää vastata kysymykseen "Jos asetetaan n-halkaisijainen ympyrä ruudukolle, niin mikä on suurin mahdollinen ympyrän sisään jäävien kokonaisten ruutujen määrä?"

Eihän tuo suurin ruutumäärä niin löydy, että ympyrän keskipistettä vain joko ruudun keskelle tai viivojen leikkauspisteeseen asetellaan. Esimerkki: Jos n = 4 ja ympyrän keskipiste on (0, 0.3), niin ympyrän sisällä on 6 kokonaista ruutua. Ja n=7 -tapauksessa saadaan 28 ruutua ympyrän sisään, kun sopivasti asetellaan ympyrää.

Siinäpä haastetta tehdä tuollainen jono.

Ja vielä. Jaskan jonossa ympyrän keskipiste oli aina ruudukon viivojen leikkauspisteessä, joten minusta luontevampi tapa laajentaa se olisi pitää tämä oletus voimassa. Silloin jonoksi tulee
0, 0, 4, 4, 12, 16, 24, 32, 52, 60, 76, 88, ....

OK:n jonossahan parittomilla n:n arvoilla ympyrän keskipiste on ruudun keskellä ja parillisilla viivojen leikkauspisteessä.

Ja sitten on vielä tuo minun jono, jossa ympyrän keskipiste voi olla missä vaan, eli aina siinä paikassa, jolla saadaan jonoon suurimmat mahdolliset luvut.
93. Antti3.9.2015 klo 17:27
{Jukkis: "Toinen termi pitää olla" on väärin,
"Toisen termin pitää olla" on oikein.}
94. Jukkis3.9.2015 klo 18:34
No, minusta se, voiko tuota nesessiivirakennetta pitää niin eksistentiaalisena, että subjektin nominatiivimuoto on hyväksyttävissä, on silleen niinku hiinä ja hiinä. Molenpi parenpi.
95. Antti3.9.2015 klo 20:18
{Lauseen subjekti on olla. Muista kielistä mallin ottaminen vie monen väärään. Vaimollanikin on äitinsä perintönä väärä tapa, jota en ole onnistunut oikaisemaan.}
96. Jukkis3.9.2015 klo 21:20
"Lauseen subjekti on olla." What the heck?
97. Jaska3.9.2015 klo 23:26
Jaskan Isar-jonot! Niille on suuri kunnia tulla verratuksi ristikkokuningasjokeen, jonka Alppien huippujen kirkkaista jäätiköistä virtaava vuo ehtymättä elähdyttää jok'ikisen laatijan joka toista ristikkoa. Totuuden nimessä Jaskan jonoista ainakin jokunen on paremminkin Mätäjoen leyhähtävälle liejupohjalle rakentunut.

Antti, otan osaa. Kestänet kuitenkin. Jatka vaan sinnikkäästi opetusta. Siis vaimolle kotona. Ei hän kai hän sentään tätä ketjuamme seuraa?

Muudan osajoukko alkaa näin: 3, 5, 13, 37, 61, 73, 157, 193, 277, 313...

Mikä?
98. Olavi Kivalo5.9.2015 klo 11:04
Olen ajatellut muotoilla jononi nimen seuraavasti:
"Maximum number of squares of an nxn regular tiling which remain enclosed in a circle of diameter n."

Olisikohan tämä yksikäsitteinen?
99. Jukkis5.9.2015 klo 12:02
No eihän se ole, koska ei ole oikea kuvaus. Jos n=7, niin ympyrän sisään jäävien ruutujen maksimi ei ole 21 vaan 28.

Sinun jono (sen jälkeen kun toinen termi on korjattu oikeaksi) vaatii kuvaukseen lisäselvityksen siitä, miten ympyrä pitää olla sijaita suhteessa ruudukkoon.
100. Olavi Kivalo5.9.2015 klo 14:30
"Regular tiling" tarkoittaa samansuuruisten neliöiden muodostamaa kokonaisuutta, jossa kukin neliö jakaa yhden neljästä sivusta kunkin neljästä vierekkäisestä neliöstä kanssa ja jossa kukin kärkipiste on yhteinen neljälle neliölle. Näinollen esim. 4x4 regular tiling koostuu 16:sta neliöstä. Halkaisijaltaan 4 kokoinen ympyrä asettuu täsmällisesti sen sisään. Se, kuinka monta neliötä mahtuu ympyrän sisään (=4), ei muutu vaikka kokonaisuutta "4x4 regular tiling" kuinka liikuteltaisiin yhdessä sen sisällä täsmällisesti olevan ympyrän kanssa.
101. Jukkis5.9.2015 klo 15:34
No eipä siinä sitten mitään, jos tosiaan yleispätevästi on sovittu että kun neliöruudukon päällä on ympyrä, niin se on just noin eikä voi olla mitenkään muuten.

Mielenkiinnolla odotamme jonon julkaisua. Muistat vaan korjata sen toisen termin.
102. Juhani Heino6.9.2015 klo 13:06
Tässä vielä muunnelma ympyräteemasta:
0, 1, 4, 8, 14, 21, 30...
103. Olavi Kivalo7.9.2015 klo 13:49
Olen alistanut jononi editorille nimellä
Maximum number of squares of an n X n regular tiling which remain enclosed in a circle of diameter n having the same center.

Ohjelma laskee termit a(n) kun n>1. a(1)=0 by definition.

Tekstistä puuttuu vielä Jaskan kontribuution määrittely. Voisitko Jaska sanoa tähän jotain joko tällä foorumilla tai emailitse?
104. Jaska7.9.2015 klo 16:17
Jaa, tulihan jonkinmoinen määritelmä kaiketi selväksi ruutupaperin suhteen? Toki koordinaatiston voi itsekin väsätä. Piirretään siis koordinaatistoon ympyröitä, joiden kaikkien keskipiste on origossa ja säteiden mittayksikkö kokonaislukuja 1, 2, 3... noudattava. Piirretään kunkin ympyrän sisään origosta alkaen 1r^2-alaisia toisiaan sivuavia neliöitä, joiden sivut ovat vaaka- ja pystyakselin suuntaisia. Jonossa ovat ympyrän kehän sisäpuolelle jäävien neliöiden lukumäärät, kulmapisteessään kehää sivuavat mukaan lukien.

Lyhyempään ja matemaattisesti eksaktimpaan määrittelyyn en ole kykeneväinen.
105. Jukkis7.9.2015 klo 20:18
No eikös Olavi Kivalon kuvausta soveltaen tuo Jaskan ole että "Maximum number of squares of a 2n X 2n regular tiling which remain enclosed in a circle of radius n having the same center".

Pitää todeta, että minun jankkaamiseni ympyrän keskipisteestä oli ihan turhaa. En noteerannut tuota OK:n "n x n regular tiling". Noin sanottuna sen n-halkaisijaisen ympyrän keskipiste tietysti voi olla tismalleen vain siinä keskellä. Itse piirtelin noita Excelillä isolle ruudukolle, jolloin ympyrää voi asetella miten vaan suhteessa ruutuihin.

Eikö muuten tuossa OK:n kuvauksessa oleva sana "maximum" ole turha? Siis niitä ruutujahan jää n-halkaisijaisen ympyrän sisälle aina just tietty määrä, ei sillä määrällä mitään maksimia tai minimiä ole.
106. Jukkis7.9.2015 klo 20:19
En muuten ollenkaan tajua tuota Jaskan "1r^2-alaisia toisiaan sivuavia neliöitä" -kohtaa. Eikös niiden neliöiden ala ole 1?
107. Jaska7.9.2015 klo 21:58
Nimenomaan 1-sivuiset ja ja -alaiset neliöt ovat laskennan kohteena kaikissa ympyröissä. Sitä se 1r oli tarkoitettu selventömöön. Selvän asian selvennysyrityksen tulos oli siis epäselvennys.
108. Matti8.9.2015 klo 21:01
Tarpeetonhan tuo maximum-sana tuossa todella on. Kun sen jättää pois, lopputulos on jo aika kompakti määritelmä. Se ei siitä taida enää sievetä.
109. Olavi Kivalo8.9.2015 klo 22:30
Tuon lukujonon nimen muotoilusta käydään parhaillaan keskustelua myös OEIS:ssa kun taas jonosta itsestään lainkaan. Onhan se nimikin tärkeä. Toisaalta nimi voidaan muotoilla oikein n:llä eri tavalla, jossa n on erittäin suuri luku. Lukujono on yksikäsitteinen.
110. Olavi Kivalo10.9.2015 klo 10:08
Jaska, lähetin sinulle sähköpostia. Onko osoitteesi edelleen
…@suomiforum.com ?
111. Olavi Kivalo11.9.2015 klo 12:27
Katso kuvat.

Seuraavassa Giovanni Restan luomassa kuvassa ympyrän halkaisija on 27. Voit laittaa sen paikalle muun halkaisijan.
_http://www.numbersaplenty.com/d27.png
112. Jukkis11.9.2015 klo 17:03
Aika mystinen tuo edellinen viesti.
113. Jaska26.9.2015 klo 13:26
Ruskaillut jono-Isar is back!

Aika mystisiksi osoittautuivat kommentoimattomuuden perusteella myös jononi 3.9. 23:26 ja Juhani Heinon 6.9. 13:06.

Oma = 2p-1, jotka ovat niin ikään alkulukuja: 2*2-1 = 3, 2*3-1 = 5, 2*7-1 = 13...
Toinen alkulukujen osajoukko siis alkuluvut 2p+1. Näissä(kin) on aika mystisiä avoimia kysymyksiä, joihin palaan.

Juhani Heinon muunnelma yritin lähestyä harpitse, mutta sekä käytännön että teoriapuoli takkuilivat. veikkaan. että kyse on neliön sivun ja ympyrän säteen toisistaan poikkeavista mittayksiköistä.

Olavi Kivalolle lähetin sähköpostin.
114. Juhani Heino27.9.2015 klo 20:59
Taidan antaa vastauksen suoraan. Jonossani mennään ääritehokkaaseen pakkaukseen: ympyrän (jonka halkaisijan pituus on kokonaisluku) sisään saa tunkea 1X1-neliöitä minne ja missä kulmassa vain. Tästä löytyy tämänhetkisiä ennätyksiä, luotan ettei niissä tule sellaista muutosta että jokin neliömäärä mahtuisi pienemmän kokoluokan ympyrään.
www2.stetson.edu/~efriedma/squincir/
115. Matti30.9.2015 klo 22:04
Aika mykistäviä, varsinkin monet epäsymmetriset tapaukset, esim. 8, 11, 13, 19 ja 22. Näiltä Stetsonin sivuilta löytyy vaikka mitä pakkaus-, peitto-, laatoitus- ym. pulmia. Vuosikymmeniä on näitä näköjään funtsittu. En nyt kysy että miksi.
116. Olavi Kivalo9.10.2015 klo 12:29
No niin, nyt on A261849 julkaistu. Samalla saa koko säie kansainvälistä julkisuutta.
117. Jaska10.10.2015 klo 19:46
Tutusta jonosta (ainakin OEIS:ssä, muistaakseni täälläkin) pätkäistyjä ovat seuraavat. Niiden viimeinen numero on joko 1, 5, tai 9. Mitä muuta yhteistä, mikä myös jatkossa ilmenee?

55, 155, 209, 305, 341, 505, 551, 649, 755, 869, 1055, 1121, 1189, 1331, 1405, 1639, 1805, 1891, 2255, 2449...
118. Jaska21.10.2015 klo 23:34
Yllä jaollisten lukujen alkupää jonosta kahden peräkkäisen tulo miinus 1 eli n(n+1)-1.

1, 5, 11, 19, 29, 41, 55, 71, 89, 109, 131, 155, 181, 209, 239, 271, 305, 341, 369, 419, 461, 505, 551, 599...

Säännöllisyyttä: numero 5:n jälkeen alkulukujen viimeinen numero on joko 1 tai 9. Jaollisten viimeinen numero on joko 1, 5 tai 9, samoin niiden alkutekijöiden viimeinen numero.

Jonon kaikki luvut ovat muotoa 6n-1 tai 6n+1 (1 = 6*0+1). Kiinnostavaa on, että 6n-1 tiheys on jonon alussa selvästi suurempi. 101 termin jälkeen (...10301) laskin suhteeksi 67/34 eli noin 2/1. Onko se jonolle ominainen tendenssi, ja mistä se johtuu? Vai vakiintuuko tilanne myöhemmin tasapeliksi? Vai muodostavatko frekvenssit enemmän tai vähemmän selvän aaltoliikkeen?
119. Jaska21.10.2015 klo 23:52
Vastaukset saattavat kirkastua jonosta n(n+1)+1. Lisätään siis äskeisen jonon lukuihin 2. Veikataan, että siinä on päinvastainen frekvenssitendenssi. Lukujen viimeinen numero on siis 1, 3, tai 7, jaollisten alkutekijöiden viimeinen 1, 3 tai 9.
120. Jaska22.10.2015 klo 00:24
Ynnäys antoi suhteen 2/1 n(n+1)+1 ja n(n+1)+3. Molemmat jonot yhteenlaskettuna n(n+1)+1 on siis frekvenssivoittaja.
121. Jaska22.10.2015 klo 00:31
Huoh, yöllistä sekoilua. Kaikki jälkimmäisen jonon luvut ovat tietysti n(n+1)+1 ja niiden suhdejakauma 2/1 on 6n+1/6n+3.
122. Jukkis22.10.2015 klo 11:52
Mä en taas tajua mitään. Siis oli jono
55, 155, 209, 305, 341, 505, 551, 649, 755, 869, 1055, 1121, 1189, 1331, 1405, 1639, 1805, 1891, 2255, 2449...
ja sitten sen alla on selitys
"Yllä jaollisten lukujen alkupää jonosta kahden peräkkäisen tulo miinus 1 eli n(n+1)-1."

Että mitä ihmettä?
123. Jaska22.10.2015 klo 12:17
No joo, täytyy taas myöntää epäeksaktisuuden puutteettomuutensa.

n(n+1)-1 = suuruusjärjestyksessä lukujonon 1, 2, 3, 4, 5... kahden peräkkäisen tulo miinus 1. Siis 1*2-1 = 1, 2*3-1 = 5, 3*4-1 = 11 jne. Kyseisen jonon alku siis eilen 23:34. Jonossa on luvun 1 jälkeen sekä alkulukuja että jaollisia lukuja.

Jonoon 10.10 19:46 siitä oli poimittu jaollisia lukuja suuruusjärjestyksessä.
124. Antti26.10.2015 klo 11:15
1, 5, 11, 19, 29, 41, 55, 71, 89, ?
125. Matti26.10.2015 klo 11:41
Toisen asteen polynomi, häh?
126. Antti26.10.2015 klo 11:55
Sellainen vain. Matti ja toiset, pyydän anteeksi erehdyttyäni edeltäviä viestejä selailtuani valitsemaan näin yksinkertaisen.
127. Jaska26.10.2015 klo 19:20
Kaikkien kokonaislukujen jonon kahden peräkkäisen tulo miinus yksi voidaan tietysti myös pukea muotoon n + n^2 - 1. Antti ei kai siis huomannut, että jono oli framilla 21.10. 23:34. Kuten 10.10. mainitsin, se on myös OEIS:ssä.

Omasta puolestani annan anteeksi myös Antin tarpeettoman anteeksipyynnön.
128. Antti27.10.2015 klo 06:29
Seuraavan vaikeudesta voi olla tarpeellista anteeksipyynnön syytä.

20, 192, 486, 512, 0, 0, 4802, ?
129. Matti27.10.2015 klo 21:38
Antin edellinen jono on myös 2(sum 1+2+3+ ... +n) -1.
130. Matti27.10.2015 klo 21:50
Siis 2(1+2+3+ ... +n) -1.
131. Jaska27.10.2015 klo 22:07
Viimeisin on puolestaan kolmannen asteen pahis. Mietin sitä lenkillä raikkaassa pohjoistuulessa 2½ tuntia. Tuloksena luopumus. Jonkin sortin "imperiumin vastaisku" :)
132. Matti27.10.2015 klo 22:55
Joo, pienten lukujen korkeita potensseja löytyy, mutta eivät vieneet minua eteenpäin.
133. Antti28.10.2015 klo 07:19
Kuudes potenssi on korkein.
134. Matti28.10.2015 klo 20:03
Johan tuossa on näytetty yhdeksäs potenssi.
135. Antti28.10.2015 klo 20:57
Polynomin asteluvultaan korkeimman termin asteluku on kuusi ja alimman neljä. Näillä tiedoilla ongelma ratkeaakin.
136. Olavi Kivalo28.10.2015 klo 20:59
Matti taitaa olla jyvällä. Minä en ole.
137. Olavi Kivalo28.10.2015 klo 21:00
Oh, Matti ei ollutkaan jyvällä.
138. Antti29.10.2015 klo 09:19
p(k) =k^6+a*k^5+b*k^4=k^4*(k^2+a*k+b)
p(5)=p(6)=0
=> a=-11, b=30
Tästä saadaan p(8)=24576
139. Olavi Kivalo29.10.2015 klo 18:41
Kuinka päädyit Antti juuri tuohon jonoon? Nuo nollatko hurmasivat?

Kokonaisluvun k esim. potenssien 4,5 ja 6 lineaarikombinaatiot tuottavat äärettömän määrän lukujonoja. Esim. kuinka jatkuu
4, 48, 0, -1280, -7500, -27216, …?
140. Antti29.10.2015 klo 19:36
Olavi, juuri kahden 0:n tähden valitsin tuon jonon.
141. Olavi Kivalo29.10.2015 klo 20:42
Minulla on vain yksi :-(
Ei sitä kannata ratkoa.
142. Antti30.10.2015 klo 07:40
Olavi, ratkaistaan kuitenkin. Polynomi on p(k) = -k^6+2*k^5+3*k^4
ja p(7)=-76832
143. Antti30.10.2015 klo 11:01
14, 10, 102, 20, 310, 114, 686, ?
144. Olavi Kivalo5.11.2015 klo 10:17
Tuon Antin jonon tulkintaan tarvitaan vähän tukea. Se on niin poukkoileva.
145. Antti5.11.2015 klo 11:19
Säännönmukaisesti kasvavien lukujen joukon pienin yhteinen jaettava ei kasva aivan joka askeleella.
146. Jaska5.11.2015 klo 12:29
Ai ovatko nuo pyjamia. Ja jakajina muös negatiivisia lukuja?

Seuraa paljon yksinkertaisempi hoksaamistehtävä. Mitä yhteistä 60:llä jaollisuuden lisäksi?

60, 1320, 1620, 4260, 5100, 6660, 6780, 11700, 12540, 21060, 66360, 83220, 88260...
147. Olavi Kivalo6.11.2015 klo 13:26
Säännönmukaisesti kasvavien lukujen joukko?

Otetaan esimerkiksi yksinkertaisin säännönmukaisesti kasvavien lukujen jono n^1=1,2,3,4,...
Tarkoittaako "joukko" tässä Antin pulmassa
a) koko joukkoja (1,2), (1,2,3), (1,2,3,4),... vai
b) osajoukkoja (n,…,(n+k)), jossa k voi olla mikä tahansa ykköstä suurempi luku, esimerkiksi (1,…,4), (2,…,5), (3,…,6),…

Ilman rajausta niin säännönmukaisesti kasvavien lukujen jonojen kuin kokeiltavien joukkojen määrätkin ovat melkoiset.
148. Olavi Kivalo6.11.2015 klo 16:18
Jaskan luvut ovat luvun 60 jakajien pyjamat.
149. Jaska6.11.2015 klo 19:11
Jaskan jonon ratkaisu alkaa lähinaapurustosta. Jatkossa pitää pähkäillä, miksi naapurit ovat erityisiä.
150. Olavi Kivalo6.11.2015 klo 21:15
Luku 60 on erikoinen siinä, että sillä on huomattavan monta eli 12 jakajaa 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60. Tämä äärellinen jono on myös OEIS:ssa. Sille pätee:
a(1)a(12) = a(2)a(11) = a(3)a(10) … =a(6)a(7) = 60.

Se mitä yritin tuossa aiemmin sanoa on, että Jaskan jonon kukin luku on itsensä ja kunkin ylläolevista luvuista pienin yhteinen jaettava.
Esim.
pyj(10,4260) = 4260 ja
pyj(12,4260) = 4260 mutta
pyj(18,4260) = 12780
151. Jaska6.11.2015 klo 21:35
OK, pyjamaerityisyys selvä. Löytyykö muita ominaisuuksia naapuruusnäkökulmasta? Lähimmät naapurit eivät kuulu jonoon...
152. Antti7.11.2015 klo 19:16
Olavi, Antin viimeisessä tehtävässä säännönmukaisesti kasvavat luvut eivä välttämättä ole peräkkäisiä. Tässä kukin luku on edeltäjästään yhtä kaukana kuin pienemmästään. Etäisyys on 2.
153. Olavi Kivalo7.11.2015 klo 20:06
Jostain syystä en käsitä tuota: "Tässä kukin luku on edeltäjästään yhtä kaukana kuin pienemmästään. Etäisyys on 2."
154. Antti8.11.2015 klo 08:02
a(k+1)-a(k)=a(k)-a(k-1)=2
155. Jukkis8.11.2015 klo 10:01
Tuoko muka on sama asia kuin "Tässä kukin luku on edeltäjästään yhtä kaukana kuin pienemmästään. Etäisyys on 2"?

Antin kaavahan sanoo, että seuraava luku saadaan lisäämällä edelliseen 2. Eli a(k+1) = a(k) + 2. Miksi tuo asia pitää tuossa klo 08:02 -kaavassa kahteen kertaan olla kerrottuna?

Liittyykö tämä siis jotenkin tuohon jonoon
14, 10, 102, 20, 310, 114, 686, ?
156. Jaska8.11.2015 klo 11:42
Jonka pitäisi liittyä myös pyjamiin. Surukseni on minun toteaminen, että en alkuunkaan pärjää Antille selitysten kryptisyydessä:(

Jono 5.11. 12:29 liittyy 16.9. 12:26 ilmoittamaani asiaan palaamiseen.
157. Olavi Kivalo8.11.2015 klo 11:53
16.9. 12:26
Minä vuonna?
158. Jaska8.11.2015 klo 11:56
Lipsuin vasemmalle, herra armahtakoon. Piti olla 26.9.
159. Olavi Kivalo8.11.2015 klo 12:28
Kun noihin lisätään 1, niin tuloksena on alkulukuja.
160. Jaska8.11.2015 klo 12:40
Kyllä, nin myös vähennettäessä 1. Tuloksena siis kaksosia. Esim. 180 ja 240 ovat niin ikään 60:lla jaollisia kaksosten välilukuja, mutta niitä ei löydy jonosta. Ne eivät täytä määrättyä ehtoa, joka on ...
161. Antti8.11.2015 klo 13:01
Jukkis ja Jaska, a-lukuni ovat niitä, joitten pienimmästä yht. jaettavasta on kysymys.
162. Olavi Kivalo8.11.2015 klo 13:43
Luvut jaettuna kahdella +/- 1 ovat edelleen alkulukuja. Tämä ei päde esim luvuille 180 ja 240. (Tosin 89 on alkuluku, mutta 91 ei.)
163. Jaska8.11.2015 klo 17:51
OK, OK huomasi ratkaisun. Alkulukukaksoset 59-61, 1319-1321, 1619-1621 jne ovat muotoa 2p+1 ja 2p-1. Niitä on aika harvakseltaan ysiin ja ykköseen päättyvien kaksosten joukossa. Laskeskelin 68 paria < 1000000. Laskuvirhe ei olisi yllätys...
164. Jaska8.11.2015 klo 18:08
Kun ei snaijaa, niin ei bonjaa. Siis Antin selityksia ja niiden yhteyttä jonoon. Ehdotan Antille ratkaisun esittämistä, elleivät muut tämän illan kuluessa protestoi.
165. Olavi Kivalo8.11.2015 klo 19:26
Minusta riittäisi, että Antti ottaisi tosissaan protestini 7.11.2015 klo 20:06, joka kuului
Jostain syystä en käsitä tuota: "Tässä kukin luku on edeltäjästään yhtä kaukana kuin pienemmästään. Etäisyys on 2."
166. Antti8.11.2015 klo 20:01
Olavi, tarkoitan lukuja, joitten p.y.j tehtävässä pitää laskea.
167. Olavi Kivalo8.11.2015 klo 20:14
Tämä on ollut selvä alusta alkaen, mutta se mistä avaruudesta nuo luvut pitäisi etsiä, ei aukene tuon ylläolevan sitaatin pohjalta. Siis minulle.
168. Jaska8.11.2015 klo 23:51
Antti, olet nyt heittänyt meille monta mahdollisesti aivan loogisen tehtäväsi lisävinkkiä, mutta ne ovat osuneet käsityskykymme rajojen ulkopuolelle. Ilmoita ratkaisu, jotta voimme päätellä, oliko maalitaulu liian pieni vai sinun osumatarkkuutesi liian huono.
169. Antti9.11.2015 klo 04:15
z(n) = pyj(n, n+3, n+5) - n
z(8) = 112
170. Olavi Kivalo9.11.2015 klo 09:37
Pikaisesti laskien sain
Table[LCM[n, n + 3, n + 5] - n, {n, 1, 10}] =
12, 70, 24, 252, 40, 198, 420, 1144, 252, 390.

Palannen asiaan paremmalla ajalla.
171. Antti9.11.2015 klo 10:22
Katsohan LCM(n n+2,n+4) - n.
172. Jaska9.11.2015 klo 11:51
Aukenipa heti ratkaisusta. Ei huono. Siis idealtaan. Kuitenkin erittäin vaikea ratkottava pelkän jonon perusteella. Päättelyn sijaan kokeiluja, joihin olisi tuhraantunut liialti aikaa. Minulle riitti pari tuntia.

Tarvittiin lisävihjeitä. Niitä tulikin, mutta ne hämmensisvät keitoksen entista sameammaksi. Pyjamavinkki rajasi viidakosta kohtuullisen kokoisen alueen. Ensin olisi pitänyt arvata tai kokeilla, että kyseessä on kolme lukua x, y, z ja saada niiden p.y.j. stemmaamaan jonon kanssa. Edelleen liikaa kokeilua/arvailua, ei ratkaisua ilman lisävihjeitä.

Sitten tuleekin kuvaan varsinainen kompastuskivi, varmaankin ketjun legendaksi yltävä "Tässä kukin luku on edeltäjästään yhtä kaukana kuin pienemmästään. Etäisyys on 2." Selitys on huono. Oikein huono. Olisi pitänyt älytä tulkita sen tarkoittavan, että y = x+2 ja z = x+4. Sen jälkeen piti vain hoksata, että pyjamasta tulee muutaman numeron liian suuri. Lopulta olisi jollekulle (ehkä ei kuitenkaan minulle), auennut, että liian ison ja oikean koon erotus on x.

Hyvästä ideasta huolimatta Antin arvosana jää yhden numeron isommastaan ja aika monta numeroa maksimista ollen kuitenkin yhden numeron isompi edeltäjästään ja monta numeroa minimistä. Raskauttavaa on se, että Antti ei osannut, tai mikä pahempaa, viitsinyt muuttaa kohtalokasta lausettaan selkokielelle.

Arvosana välttävä 5. Tony Halme armahtaa, minä en.
173. Jukkis9.11.2015 klo 15:28
Etkö sä Antti ollenkaan itse lue, mitä tänne kirjoittelet? Kun jatkuvasti tulee ihan käsittämättömiä kirjoituksia, ja vaikuttaa siltä, että et itse edes tajua, miksi niitä ihmetellään. Vastailet vaan ihan pokkana kuin mitään ei olisi tapahtunut.

Niinkuin viimeksi tuo 9.11.2015 klo 04:15 oleva ihan väärä kaava. Ja sitä ennen tuo Jaskan siteeraama älyttömyys, ketjun legenda.

Hiukka skarppausta, kiitos.
174. Antti9.11.2015 klo 15:40
Kiitos, Jaska ja Jukkis. Hyvät neuvot ovat kullan arvoiset.
175. Olavi Kivalo9.11.2015 klo 16:11
Tässä helpohko harjoitus.

Valitse kokonaisluku, esim 12. Etsi sen jakajat -> 1,2,3,4,6,12.
Laske yhteen kaikki niissä esiintyvät numerot -> 1+2+3+4+6+1+2 = 19.
Etsi nyt 19:n jakajat -> 1,19 -> 1+1+9 = 11.
Etsi nyt 11:n jakajat -> 1,11 -> 1+1+1 = 3.
Iteroi edelleen. Mitä tapahtuu? Kokeile jollain toisella luvulla. Löytyykö jokin lainalaisuus?
176. Jaska9.11.2015 klo 17:47
Enimmäkseen tapahtuu äärettömiin jatkuvaa aaltoliikettä. Jos numeroiden summa on sama kuin purettavä luku, jäädään toistamaan samaa sarjaa äärettömiin. Eka sellainen tapaus 15.
177. Antti9.11.2015 klo 18:01
5, 8, 12, 18, 24, 36, 42, 52, ?
178. Olavi Kivalo9.11.2015 klo 19:04
Tämäkin irtoaa tuosta harjoitustehtävästä:
8, 14, 15, 20, 26, 26, 59, 62, … (ei OEIS:ssa)
179. Olavi Kivalo9.11.2015 klo 19:05
Oho, piti olla
8, 14, 15, 20, 26, 59, 62, …
180. Olavi Kivalo9.11.2015 klo 23:00
Jaskan löytämä raja-arvo 15 on se, johon itse asiassa kaikki ketjut näyttävät päättyvän riippumatta, mistä luvusta lähdetään liikkeelle (paitsi jos lähdetään ykkösestä, jolloin ketju tyssää ykköseen). Myös yllä antamani jono rakentuu raja-arvoon 15.
181. Jaska10.11.2015 klo 10:22
Antin jonosta herää epäily, että 24:n ja 36:n välistä puuttuu 30. Siinä tapauksessa jatko olisi 60.
182. Antti10.11.2015 klo 15:00
Vajavainen esiintymiseni jatkui. Jaska on oikeassa.
a(j)=j:s alkuluku + (j+1):s alkuluku.
183. Jaska10.11.2015 klo 18:16
Kaikilla meillä on vajavaisuutemme. Muistan aina taannoisen apeutumiseni, kun menin liiteriin. Se oli niin armottoman epäjärjestyksen vallassa.

Mikä on pienin 13:lla jaollinen luku muotoa n^2 - 2?
184. Olavi Kivalo10.11.2015 klo 19:36
En tiedä.
185. Juhani Heino10.11.2015 klo 20:12
Tuohan on sama asia kuin n^2 = 2 (mod 13), jos ymmärsin oikein. Sellaista lukua ei ole.
186. Olavi Kivalo10.11.2015 klo 21:38
Oma jononi on "numbers n such that the sum of digits of all divisors of n equals 15". Nätti jono mutta en usko sen olevan "yleisesti kiinnostava".
187. Jaska10.11.2015 klo 22:19
Juhani Heino ei mennyt helppoon!
188. Olavi Kivalo11.11.2015 klo 09:08
Ansan voi välttää kun kiertää sen kaukaa.
189. Jukkis11.11.2015 klo 09:27
Yritin keksiä todistusta tuolle että n^2 ei voi olla 2 (mod 13). Ei oikein lähde. Varmaan ihan simppeli? Löytyiskö?
190. Jaska11.11.2015 klo 12:09
Sen voi todistaa esim. neliöliden ja 13n+2 muotoa olevien lukujen loppunumerosyklejä vertaamalla.
191. Jaska11.11.2015 klo 12:16
En ällää ansainnut oikeinkirjoituksesta.
192. Juhani Heino11.11.2015 klo 12:32
Moduloaritmetiikassa on se hyvä puoli, että se on yleistettävissä eli kaikki luvut voidaan palauttaa perusryhmään, 13:n tapauksessa siis lukuihin 0..12. Jos luku 25 osallistuu johonkin laskutoimitukseen, modulo 13:n kannalta on sama vaikka 12 osallistuisi.
Joten tässä tapauksessa voidaan vain luetella tulokset.
0^2 = 0
1^2 = 1
2^2 = 4
3^2 = 9
4^2 = 16 = 3 (mod 13)
5^2 = 25 = 12 (mod 13)
6^2 = 36 = 10 (mod 13)
Loput tulokset ovat samat käänteisessä järjestyksessä, koska modulo 13:n kannalta 7 = -6 ja (-6)^2 = 6^2 jne.

Yllä olevat tulokset ovat siis neliönjäännöksiä, paitsi 0 joka on erityistapaus. Monimutkaisempia tilanteita varten on sitten hieno tulos jota jo käsiteltiinkin Lukujono 2:ssa:
fi.wikipedia.org/wiki/Neliönjäännöslause
193. Jaska12.11.2015 klo 11:32
Lisätään vielä, että nollien välissä olevan jakojäännössyklin kolmentoista luvun järjestys vaihtelee neliön viimeisen numeron mukaan. Esim. numeroon 5 päättyvä sykli 25:stä alkaen on 12, 4, 1, 3, 10, 9, 0, 9, 10, 3, 1, 4, 12.
194. Jukkis12.11.2015 klo 14:49
Pakko taas kerran todeta, että en ymmärrä tuosta Jaskan edellisestä viestistä mitään. J. Heinon viestin sen sijaan ymmärsin.
195. Jaska12.11.2015 klo 18:53
Viestin 11:32 epämääräisehköys myönnetään. Täsmennerään:

Esimerkkinä järjestyksen vaihtelusta Juhani Heinon luetteloon verrattuna olkoon numeroon 5 päättyvien, suuruusjärjestyksessä peräkkäisten 13:lla jaettujen neliöiden samana toistuvan kolmentoista jakojäännöksen sarja alkaen ensimmäisestä lukua 13 suuremmasta neliöstä, siis 5^2 = 25.

Kyseessä siis neliöt 5^2, 15^2, 25^2, 35^2, 45^2, 55^2, 65^2 . 75^2, 85^2, 95^1, 105^2, 115^2, 125^2. Kun ne jaetaan luvulla 13, syntyy esitetty jakojäännössarja.

Mahdolliselle utamille lukijalle tiedoksi, että Jukkiksen "en ymmärrä tuosta Jaskan edellisestä viestistä mitään" on hyperbola. Kyllä hän siitä jotain ymmärsi.
196. Jaska12.11.2015 klo 19:17
Täsmentäminenkään ei ihan onnistunut:(
197. Olavi Kivalo16.11.2015 klo 13:27
Uusimmassa Tekniikka ja Talous -lehdessä esitetään pähkinänä luvut, joita ei voi esittää kolmen kokonaisluvun kuution summana. Ne ovat 4, 5, 13, 14, 22, 23, 31, 32, 40, 41, ...
Samaan jonoon päädyttiin tällä foorumilla tammikuussa 2012 pitkässä ja kiehtovassa pyörityksessä, mutta toisesta näkökulmasta. Jono oli jo tuolloin OEIS:ssa (A156638), mutta uusi näkökulma saatiin sinne kommenttina.
198. Juhani Heino16.11.2015 klo 22:42
Laitanpa toisen esimerkin uudesta näkökulmasta. Lukujono 4:n (säie 5098) alussa esittämiäni lukujonoja ei tosiaan löytynyt mistään, mutta kun otetaan jono 1,n ja jaetaan aina 2:lla, se tuottaa syklisen jonon, eli jossain vaiheessa aloitetaan uudestaan ekoista luvuista. Jakson pituus on sitten se joka voidaan ottaa n:n tulokseksi. Ja yllättäen ne tulokset täsmäävät jonon A003558 kanssa. Todistin miksi näin käy. Todistus on vielä OEIS:n jutturuuhkassa, mutta ilmeisesti pääsette jo katsomaan sitä jonon kuvauksen alta löytyvästä history-linkistä.
Näin näyttää käyvän muissakin jonoissa, eli ekoina esimerkkeinä:
1,1,n - jaetaan aina 3:lla
1,1,1,n - jaetaan aina 4:llä
Mutta niiden jaksonpituuksia ei löydy OEIS:stä enkä tiedä onko niillä sen kummempaa merkitystä minkään muun kannalta.
199. Olavi Kivalo17.11.2015 klo 10:00
Laitoin tuon jononi 9.11.2015 klo 19:05
8, 14, 15, 20, 26, 59, 62, …
kommentiksi jonoon A034690.
200. Olavi Kivalo17.11.2015 klo 11:23
Joskus syklin (jakson) löytäminen ilmeisen jaksollisesta lukujonosta on äärimmäisen vaikeaa, varsinkin kun jaksot ovat pitkiä. Vuosi sitten elo-syyskuussa (Lukujono 13) keskustelimme lukujonon a(n) = floor(tan(…(floor(tan(floor(tan(n)))))…)) rajajonosta, joka koostuu vain nollista ja ykkösistä. Sittemmin tästä sikisi sarja julkaisuja OEIS:ssa, mm. A258021, ja siihen liittyvä keskustelu sen jaksollisuudesta (katso A258021 ja linkki Discussion on SeqFan-list).

Lopullinen analyysi ykkösten esiintymisen jaksollisuudesta jonossa A258021 on minulla vielä työn alla, mutta kysymys on ilman muuta superponoituneesta monijaksollisuudesta, josta musiikissa käytetään nimitystä polyrytmi.
201. Jaska17.11.2015 klo 19:16
Noista 2012 muisteloista sikisi seuraava sekava (laatijansa tapaan):

16, 2197, 16, 32, 4096, 128, 256, 262144, 1024, ?
202. Antti17.11.2015 klo 19:54
Hatara arvaus 2^24 = 1677216
203. Antti17.11.2015 klo 19:56
Korjaantuukohan hataruus, jos kirjoittamani edelle otetaan 2048?
204. Olavi Kivalo17.11.2015 klo 21:05
Tuossa jälkimmäisessä muistelossani piti lukea "katso A258200 ja linkki Discussion on SeqFan-list"
205. Olavi Kivalo17.11.2015 klo 21:32
Tuo 2197 sotkee pahasti.
206. Jaska17.11.2015 klo 23:11
Niin on tarkoituskin! Loogisesti tai jopa loogisemmin jono alkaa luvulla 2. En kuitenkaan aloittanut sillä, koska 2 = 2. Sille ei siis tarvitse tehdä mitään selaista, mistä oli silloin taannoinkin puhetta. Täytyy kaivella tarkemmin, jos ei tästä ratkea. Jatko voi silti olla työläs...
207. Jaska17.11.2015 klo 23:14
1677216 ei siis ole oikein.
208. Jaska17.11.2015 klo 23:55
Kyssäriä seuraava on 4096, jos se nyt ratkontaa helpottaa. Ehkä ei.
209. Jaska18.11.2015 klo 10:55
Tarkoittamni "sikiäin" löytyy keskustelusta vuodenvaihteen 2011-12 molemmin puolin säikeessä 6493 lukujono 10, hakunumero 52. Siitä sitten ylemmäs askelma kerrallaan kunnes sopiva luku kohdataan...
210. Jaska19.11.2015 klo 11:54
Helpotetaan suoraan pehmokeskikseksi. Potenssiin korotusta ja yhteenlaskua edellyttää näiden pienimpien lukujen löytäminen.
211. Jaska22.11.2015 klo 20:58
Edellistä ei kukaan liene tosissaan pohtinut. Kyssärin luku on 285 311 670 611 = 11^11. Aiempi kummajainen 2197 = 13^3.
212. Jaska30.11.2015 klo 23:32
Kyseessä siis eksponenettien suuruusjärjestyksessä pienimmät potenssit, joiden numeroiden summa on alkuluku: 2^1 = 2, 4^2 = 16, 13^3 = 2197, 2^4 = 16, 2^5 = 32, 4^6 = 4096, 2^7 = 128, 2^8 = 256, 64^9 = 262144, 2^10 = 1024, 11^11 = 285 311 670 611, 2^12 = 4096...

Keskustelussa, johon viittasin, setvittiin neliöiden numeroiden summia. Siitä piti sitten arvata ynnätä jonon lukujen numeroita. Aivan, oli ylisumeaa, arvosana improbatur. Mutta on se yhdestoista potenssi silti pikkasen yllättävä knoppi...

Seuraava ei niinkään, ehkä vain kakspuolonen:

7, 11, 13, 17, 23, 31, 43, 53, 61, 67, 71, 73, ?
213. Jaska2.12.2015 klo 22:40
Olisiko sittenkin kolmonen. Helpotetaan. Samalla idealla, eri alulla ja seiskan poistolla:

3, 5, 11, 13, 17, 23 jne.
214. Jaska11.12.2015 klo 00:15
Seuraava 79. Lasketaan yhteen kolme pienintä eri alkulukua niin, että niiden summakin on alkuluku. Jono ei siis voi alkaa alkuluvulla 2. Alkulukujen 3 ja 5 pienin jatkoksi sopiva on 11, summa 19. Sitten ynnätään 5 + 11 + 13 jne.

Ekan knoppina oli harhauttaa jatkaja uskomaan, että seuraavankin viimeinen numero on joko 1, 3 tai 7. Ei siis mitään ylivaikeaa, joten kaiketi tehtävä ei kiinnostanut silmäilyä enempää.

Seuraavan pitäisi olla ja onkin helppo jatkaa. Jono myös liittyy
johonkin, ei vaikea arvata sitäkään.

35, 143, 323, 899, 1763, 3599, 5183, ?
215. Antti11.12.2015 klo 05:47
10403 (=101*103=alkuluku1*alkuluku2, jossa alkuluku2=alkuluku1+2)
216. Jaska11.12.2015 klo 10:51
Oikein. Palaan ehtiessäni liittymisjuttuun.
217. Antti15.12.2015 klo 06:39
Jaskan paluuta odotteleville:

0, 1, 2, 3, 1, 1, 3, 3, 5, ?
218. Jaska24.12.2015 klo 15:53
Noh, toivottavasti ei paluutani eikä jouluakaan odottavan aika ole käynyt pitkäksi.

Antin jonon jatkoksi sopii ainakin 9, 9, 1, 2, 1, 2, 5...

Jonon 11.12. liittymisen numeroiden summiin jätin arvattavaksi. Jokunen viikko sitten niitä viimeksi sivuttiin. Räknäämällä huomaatte yhteyden. Knoppi ei tosin koske vain alkulukukaksosia, vaan kaikkia tuloja (6n-1)*6n+1). Sulatelkaa tätä miraakkelia kinkun kera!

Hyvää joulua kaikille jonoilijoille.
219. Antti24.12.2015 klo 21:23
Jatkon Jaska on oikein oivaltanut.
a(j)=jakoj(j:s alkuluku;j)
220. Antti24.12.2015 klo 21:25
Rauhallista ja riemullista Vapahtajan syntymäjuhlaa!
221. Matti31.12.2015 klo 20:18
Kaikille pulmailijoille hyvää uutta vuotta 2016!
222. Matti31.12.2015 klo 20:18
Kaikille pulmailijoille hyvää uutta vuotta 2016!
223. Jaska1.1.2016 klo 11:25
Samoin.

Summaknopin ratkaisun 8 lienet havainnut. Siihen aina päädytään sitä isompien lukujen numerot ynnäämällä, vaikka luvuissa olisi tsiljoona numeroa.

6n-1 ja 6n+1 neliöiden summan vastaava "finaaliluku" on 2. Entä miten päädytään lukuun 1?
224. Olavi Kivalo2.1.2016 klo 23:00
Happy x
x = Sum[n^3, {n, 3, 9}]
225. Olavi Kivalo4.1.2016 klo 08:45
Kokeilen, vastaako tähän kukaan.

Hyvää Uutta Vuotta
Uusi Vuosi = x = 3^3 + 4^3 + 5^3 + 6^3 +7^3 +8^3 +9^3
226. Matias-Myyrä4.1.2016 klo 08:53
Niinpä näyttää olevan!
Yhdeksän vuoden kuluttua, eli 2025 vielä täydellisempi sarja.
227. Matti4.1.2016 klo 14:23
Pekka Joutsin maakuntalehtiristikossa oli 2*2*2*2*2*3*3*7.
228. Matti4.1.2016 klo 14:29
M-M, joo, OK:n muotoilulla x=Sum[n^3, {n, 1, 9}].
229. Olavi Kivalo4.1.2016 klo 14:42
Käytin ensin Mathematican formaattia. Sori siitä.
230. Jaska4.1.2016 klo 19:21
n^3:sta puheen ollen: 1^3, 4^3, 7^3, 10^3, 13^3... on sekin vastaus kyssäriini 1.1. 11:25. Tarkoittamani oli siinä mainittu neliöiden summa a^2 + b^2 + ab.
231. Olavi Kivalo4.1.2016 klo 22:43
Tässä olisi pohdittavaksi geometrinen ongelma, jota en ole itse vielä ratkaissut.

Lähdetään liikkeelle kolmiosta, jonka sivut ovat kolmen ympäröivän neliön sivut. Olkoot nämä neliöt nimeltään A, B ja C niin, että A on pienin ja C suurin.

Tämän kolmiosta ja kolmesta neliöstä muodostuvan kompleksin ympärillä on toiset kolme neliötä X, Y ja Z, jotka eivät ole kosketuksessa toisiinsa, mutta jotka asettuvat suhteessa neliöihin A, B ja C siten, että ensinmainittujen (X, Y ja Z) kulmat yhtyvät näiden neliöiden vapaisiin kulmiin seuravasti: X:n kaksi kulmaa yhtyvät A:n ja B:n tarjolla oleviin kulmiin, Y:n kaksi kulmaa A:n ja C:n kulmiin ja Z:n kaksi kulmaa B:n ja C:n kulmiin. Kokonaisuus on siis melkoinen häkkyrä.

Neliöiden A, B, ja C sivun pituus on kokonaisluku ja A:n sivu on 17.
Neliöille X, Y ja Z pätee, että Z:n pinta-ala on X:n ja Y:n pinta-alojen summa.

Mikä on Y:n pinta-ala?
232. Jukkis5.1.2016 klo 23:34
Oliskohan 2016?
233. Olavi Kivalo6.1.2016 klo 01:30
Olisi kiinnostavaa nähdä matemaattinen päättely tuolle.
234. Jukkis6.1.2016 klo 07:46
Ihan numeerisesti laskemalla tuon löysin. Eli annoin kolmion sivuille arvoja ja laskin pinta-alat X, Y ja Z. Lievää analyyttistä geometriaa tietysti vaati. Sitten Excel laski. Riville 73 putkahti tämä tulos:

_http://aijaa.com/vhtN9b

Pinta alat on X = 585, Y = 2016, Z = 2601.

Hiukka hämmästyttävää on se (vai onko?), että nuo pinta-alat X, Y, Z on aina kokonaislukuja. Eli kun kuvioon syntyy kolme uutta kolmiota, joiden kaksi sivua on kokonaislukuja, niin aina jokaisen kolmas sivu on kokonaisluvun neliöjuuri.

Jos neliöt X, Y ja Z siirtää asentonsa säilyttäen koskettamaan toisiaan nurkista, niin tuloksena on suorakulmainen kolmio. Tuon jos pystyis geometrisesti todistamaan, niin kiva olis.
235. Matti6.1.2016 klo 23:56
Hyvin on Jukkis sulla laskentavälineet hallussa, olen sen aiemminkin todennut.

Että tuloksena on suorakulmainen kolmio, on tietysti suoraa seurausta siitä, että X+Y=Z. Äsken ryhdyin tätä pulmaa miettimään, mutta kovin pitkälle en ole (vielä?) päässyt.
236. Jukkis7.1.2016 klo 09:21
Ajattelin niin päin, että jos voisi geometrisesti (ilman että laskee nurkkapisteiden koordinaattien lukuarvot) osoittaa, että kolmio on suorakulmainen, niin se olisi elegantimpi todistus tuolle X+Y=Z. Ja jos vielä pystyisi todistamaan, että vain kolmion sivujen arvoilla 17, 22, 31 tuollainen suorakulmainen voidaan saada aikaan, niin olisi vielä elegantimpaa.

Kyllähän noille pinta-aloille saa lausekkeet johdettua ja sitten voi muodostaa yhtälön, josta neliöiden B ja C sivuja voi yrittää ratkaista. Mutta en minä ainakaan ymmärrä, miten ne siitä yhtälöstä saisi suljetussa muodossa putkahtamaan. Mutta mistäpä sitä tietää, vaikka tälle olisi joku lukuteoriaan perustuva ratkaisutapa.

Kiitos Olavi Kivalolle, välillä oikeasti mielenkiintoinen pähkinä.
237. Olavi Kivalo7.1.2016 klo 09:29
Tässä ongelmassa on oleelliset lähtötiedot annettu, mutta kahdesta niistä on otettava kaikki irti. Toinen on tuo yllä mainittu ja toinen koskee kolmiota, joka jään neliöiden väliin. Näistä saadaan yhtälöt, joiden lukumäärä on yhtä pienempi kuin tuntemattomien. Kolmas on se, jolla yhden neliöistä pinta-alaksi - juhlan kunniaksi - fiksataan 2016.
238. Matti7.1.2016 klo 09:58
Nyt en vissiin tajua. Eikös X+Y=Z ole oletus.
239. Olavi Kivalo7.1.2016 klo 10:05
"Neliöille X, Y ja Z pätee, että Z:n pinta-ala on X:n ja Y:n pinta-alojen summa."
240. Jukkis7.1.2016 klo 10:14
En minäkään ymmärtänyt tuosta klo 09:29 jutusta paljon mitään. "oleelliset lähtötiedot annettu, mutta kahdesta niistä on otettava kaikki irti" -> ?????
"yllä mainittu"-> ??????
"yhtälöt, joiden lukumäärä on yhtä pienempi kuin tuntemattomien"->???? Eikös niitä tuntemattomia ole kaksi, eli alkuperäisen kolmion kaksi sivua?
241. Jaska7.1.2016 klo 11:12
OK:lta kai pudonnut pois sana "tunnettujen."

"Vain kolmion sivujen arvoilla 17, 22, 31..."

Eikö pitäisi olla pienimmillä arvoilla? Tai kulmien asteluvuilla. Pitäisihän sen toteutua kaikilla samanmuotoisilla kolmioilla. Mitkä asteluvut muuten ovat? Jukkis lienee nekin laskenut.
242. Jaska7.1.2016 klo 11:14
No niin, ehdin jo unohtaa sen pääasian eli 2016. Sehän tietysti saadaan vain tuolla minimikolmiolla.
243. Jukkis7.1.2016 klo 11:31
Jaskan päättely kaatuu siihen, että alkuehtona oli, että kolmion lyhin sivu pitää olla 17.
244. Jukkis7.1.2016 klo 12:11
Paitsi että siis Jaskan päättelyhän oli myös oikein, koska jos ehdoksi otetaan vain X+Y=Z, niin tietysti myös alkukolmion sivunpituudet 34, 44 ja 62 toteuttaa tuon. Jne. Tietysti voisi tutkia, löytyykö muunmuotoisia kolmioita, joilla ehto toteutuu.
245. Jukkis7.1.2016 klo 12:14
Ja äkkiäkös tuo on tutkittu. Jos alkukolmion sivut on 13, 19, 22, niin X+Y = 576+945 = 1521 = Z. Joten noita kolmioita varmaan löytyy sitten lisääkin.
246. Jukkis7.1.2016 klo 19:46
Laitoin Matlabin hakemaan näitä tämmöisiä. Alla löytyneitä. Kolme ekaa lukua ovat alkukolmion sivut ja kolme vikaa pinta-alat X, Y ja Z. Lieneekö näillä luvuilla mitään sen kummempaa merkitystä, ovatko ihan sattuman kautta putkahtavia? Ei noissa mitään kovin mielenkiintoista tunnu olevan, kiinnostavinta oli saada aikaan ohjelma, joka tuon listan generoi niin, että monikerrat ei tulostu. (Eli kun on kolmio 13, 19, 22, niin löytyvät kolmiot 26, 38, 44 ja 39, 57, 66 jne. ei tulostu.

13 19 22 576 945 1521
17 22 31 585 2016 2601
25 38 41 2457 3168 5625
37 58 59 5985 6336 12321
41 58 71 5049 10080 15129
53 62 101 3105 22176 25281
61 82 109 9009 24480 33489
65 79 122 6048 31977 38025
85 118 149 20097 44928 65025
89 121 158 20160 51129 71289
101 139 178 27360 64449 91809
109 122 211 9009 97920 106929
113 142 209 22185 92736 114921
145 178 271 31977 157248 189225
145 191 262 46368 142857 189225
149 229 242 90720 109089 199809
157 179 302 22176 199665 221841
173 269 278 127296 142065 269361
181 218 341 44289 250560 294849
185 202 361 19737 288288 308025
193 241 358 62496 272745 335241
197 251 362 72576 276705 349281

Näitä varmaan on ääretön määrä.
247. Jaska7.1.2016 klo 21:54
Eli siinä tapauksessa sarja on äärettömän mielenkiintoinen!

Kaikissa kolmioissa kaksi sivua on 6n+1 tai 6n-1 ja yksi sivu 2p.
248. Olavi Kivalo7.1.2016 klo 22:50
Kaikki, mistä löytyy 6n+1 tai 6n-1, on Jaskalle äärettömän mielenkiintoista. Eikä varmaan syyttä. Ehkä Jaska luo jonain päivänä ontologian, jossa todellisuuden osoitetaan rakentuvan (6n+1):n ja (6n-1):n äärettöminä kombinaatioina.
249. Jaska7.1.2016 klo 23:40
Totta osittain. Muitakin kombinaatioita toki eksisteeraa. Kaikki olevainen on joka tapauksessa sidoksissa lukuihin ja niiden suhteisiin.

Olin taas huolimaton oletuksissani. Kolmas sivu ei ole aina 2p. 242 = 2*121 = 2*11^2. Nyt oletan , että se on 2*p^2 aina silloin, kun se ei ole 2p. Toistaiseksi.
250. Jukkis8.1.2016 klo 08:54
No tässäpä on lisää materiaalia tuon tutkimiseksi:

221 262 419 59409 380160 439569
229 341 382 191520 280449 471969
233 311 418 127296 361305 488601
241 298 449 92169 430560 522729
257 319 478 107136 487305 594441
265 398 439 264537 367488 632025
269 398 451 258129 393120 651249
277 389 482 223776 466785 690561
281 302 551 36729 673920 710649
289 319 562 54720 696969 751689
293 421 502 274176 498465 772641
313 362 599 99225 782496 881721
317 458 541 327825 576576 904401
337 401 638 141696 880425 1022121
349 418 659 158769 937440 1096209
365 418 701 124497 1074528 1199025
389 491 718 269280 1092609 1361889
397 422 781 61425 1357056 1418481
251. Jukkis8.1.2016 klo 09:02
Ei taida tuo 2*p^2 -oletus pitää: 418 = 2*209 = 2*11*19.

Olisko seuraava oletus että jos ei 2p, niin 2*11*p? Jaska tutkii.
252. Jaska8.1.2016 klo 10:28
Hehheh, meni nyt Jukkiksen arvaus pahasti metsään. Jaska tyytyy siihen, että kolmas sivu on aina parillinen.
253. Jukkis8.1.2016 klo 18:52
Jos nyt vielä yhdet kolmiot tähän, saavat olla viimeiset. Kaikki tähänastiset noudattaa näitä:
- lyhin sivu aina pariton, kahdesta muusta toinen parillinen toinen pariton
- kaikki parittomat muotoa 6n+1 tai 6n-1
- kaikki parilliset muotoa 2*(6n+1) tai 2*(6n-1)

Tässä edellisten jatkoksi lyhimmän sivun arvoon 1000 asti:

401 479 758 205920 1241289 1447209
421 478 811 153729 1441440 1595169
461 499 902 109440 1803249 1912689
481 542 929 187209 1895040 2082249
485 571 922 272448 1844577 2117025
521 601 998 269280 2173689 2442969
533 562 1051 95265 2461536 2556801
577 671 1102 351936 2644425 2996361
613 682 1189 268065 3113856 3381921
625 718 1199 374697 3140928 3515625
673 719 1322 192096 3884265 4076361
677 779 1298 445536 3679425 4124961
685 758 1331 316017 3907008 4223025
689 722 1361 139689 4132800 4272489
745 841 1438 456768 4538457 4995225
761 838 1481 369369 4842720 5212089
793 898 1529 532665 5126976 5659641
821 971 1558 806400 5259969 6066369
841 922 1639 428409 5937120 6365529
865 902 1711 196137 6537888 6734025
901 1019 1738 679680 6626529 7306209
925 979 1822 308448 7392177 7700625
254. Jaska8.1.2016 klo 19:03
Äärettömyys näyttää hyvin uskottavalta, mitä taas ei ole minun kykeneväisyyteni sen todistamiseen. Aritmeettista sarjasäännöllisyyttä näytti ensi vilkaisulla olevan alkukolmioiden pienimillä sivuilla A ja siten myös Z:llä, joka on 9*A^2. Yritelmä tyssäsi nopeasti kahdesti esiintyvään 9*145^2.

Sehän tietysti johti minulla ankarana ammottavaan kysymykseen, onko vastaavia tuplia äärettömästi ja miten niiden frekvenssi määräytyy. Sekin on äärettömän mielenkiintoista. Äärettömällä on äärettömiin mielenkiintoisuuksia!
255. Jaska8.1.2016 klo 19:12
Joo kiitos lisukkeesta. Siinä ei tuplaa. Pitää paneutua (= toiseen säikeeseen tulkinta yhdy usvaan) asiaan paremmalla ajalla syvemmin. Ilmoitan todistuksen löytymisestä.
256. Jukkis9.1.2016 klo 12:20
Tätä juttua kun miettii, niin tulee sellainen olo, josta amerikkalainen sanoo että "boggles the mind". Siis mikä ihme mekanismi on se, että kun tolleen lähdetään kolmiosta ja päädytään eräänlaiseen Pythagoraan teoreeman sovellukseen, niin sen alkuperäisen kolmion lyhimmän sivun pituus on pakko olla pariton luku, mutta sitten toisen, ja vain toisen, niistä kahdesta muusta pitää olla parillinen. Ja sitten tuo 6n±1 -homma vielä on. Ihan tajutonta.
257. Olavi Kivalo10.1.2016 klo 18:21
Ettei jää väärää käsitystä, että tämä olisi lukuteoreettinen ongelma, kannattaa huomata, että myös osa Jukkiksen julkaisemista luvuista ei ole kokonaislukuja, vaikka siltä näyttää.

Ongelma näyttää kuitenkin olevan ratkaistavissa analyyttisesti. Jos pienimmän pikkuneliön sivu on 17, isojen neliöiden sivut ovat 3*Sqrt(65)≈24, 3*Sqrt[289+8*Sqrt(910)]-3*Sqrt(65)≈45 ja 51. Niiden pinta-alat ovat vastaavasti 585, tuo ylläoleva toiseen ≈2016, ja 2601.

Analyyttinen ratkaisu löytyy tarkastelemalla kuviossa olevien kuvioiden suhteita, kuten yritin tuossa Loppiaisen jälkeisenä aamuna vihjata.
258. Jaska10.1.2016 klo 21:26
Mielenkiinto laimeni äärellisiin mittoihin...
259. Jukkis10.1.2016 klo 21:54
Laskin nuo uudestaan ja tulostin 15 desimaalilla. Kaikki X, Y ja Z -pinta-alat on kokonaislukuja vähintään 10 desimaalin tarkkuudella. Kun ne on laskettu numeerisesti, pitäisin varsin epätodennäköisenä, että mikään niistä on muu kuin kokonaisluku.

Mitkä Olavi sun mielestä ei ole kokonaislukuja?
260. Jukkis10.1.2016 klo 22:38
Mutta siis onhan se jännää kun tuohon on analyyttinen ratkaisu.

Tai siis sanoisin että on uskomatonta, jos tosiaan analyyttisesti löytyy vastaus kysymykseen "millä kaikilla alkuperäisen kolmion sivujen kokonaislukuarvoilla pätee että X+Y = Z". Niin uskomatonta, että tässä vaiheessa sanon, että en usko.
261. Jukkis11.1.2016 klo 16:25
Nonni. Kun otti järjen käteen ja hiukka katseli tuon tilanteen geometriaa, niin helpollahan lopulta tuli simppeli tulos. Jos alkuperäisen kolmion sivut on a, b ja c, niin pinta-alat on
X = 2a^2 + 2b^2 - c^2
Y = 2a^2 + 2c^2 - b^2
Z = 2b^2 + 2c^2 - a^2

Ja ehto X+Y=Z toteutuu, kun
5a^2 = b^2 + c^2.

Jokainen minun tuolla listaamani a, b, c toteuttaa tuon.

Että kyllä tämä jonkinlaiseksi lukuteoreettiseksi jutuksi palautuu. Jaska voi nyt todistaa, että se 6n±1 -juttu tuosta putkahtaa.
262. Jaska11.1.2016 klo 19:20
Kyseinen todistaminen voidaan todistaa esim. siten, että todistetaan muiden lukujen vastaavat, siis ehdon täyttävät kombinaatiot mahdottomiksi. Suoralta kädeltä sitä ei tule mieleen, mutta voisihan sitä funtsia. Esim. poimimalla kahden neliön summat sarjasta 5n^2. Siitä todisteeksi käypä säännönmukaisuus siis pitäisi hoksata.

Uskon nyt, että OK erehtyi. Siis Jukkis on oikeassa. Kaikki luvut ovat kokonaislukuja.
263. Matti11.1.2016 klo 21:44
Pääsin juuri äsken samoihin yhtälöihin kun Jukkis, kolmion sini- ja kosinilausetta käyttämällä. Näyttää siltä, että ehto b^2 + c^2 = 5a^2 toteutuu, kun a on alkukolmion sivuista lyhyin. Kokonaislukujuttukin saa luontevan ratkaisun: jos valitaan esim a ja c kokonaisluvuiksi, niin b:n neliökin on kokonaisluku. Tuon 6n+-1tapauksen jätän suosiolla Jaskan huomaan.
264. Matti11.1.2016 klo 21:49
Niin ja yleisesti: b ja c saa olla mikä tahansa reaaliluku, kunhan vaan a=sqr((b^2+c^2)/5) on <b ja <c. Ja silloin tietenkään b:n neliö ei ole kokonaisluku. Vai menikö mäkeen?
265. Jukkis11.1.2016 klo 22:27
Oli hupaisa harjoitus tämä. Nuo Matlabilla lasketut perustui suorien kulmakertoimien ja suorien yhtälöiden ja suorien normaalien yhtälöiden avulla laskettuihin neliöiden X, Y ja Z nurkkien koordinaattien määrittämiseen. Siinä oli hetken äheltämistä. Sen verta monimutkaista oli, että todella piti ihmetellä, kun rupesi pelkkiä kokonaislukuja tulemaan. Nyt sitten kun äkkäsi kosinilausetta soveltaen noita kolmioita katsella, niin on ihan selvää, että jos kokonaisluvuista lähtee, niin pelkkiä kokonaislukujahan sieltä tietysti tulee.
266. Jaska11.1.2016 klo 23:37
Todistamisen edellytys eli jokin jatkuva säännönmukaisuus alkukolmoiden generoimiseksi taitaa tosiaan olla kiven alla. Kaikki alkukolmiot näyttäisivät silmämäärin olevan teräväkulmaisia, siis myös se "lyhinsivuduaali" 145. Mikä on seuraav duaali? Onko tylppäkulmainen alkukolmio mahdottomuus?
267. Matti12.1.2016 klo 00:22
Koko messun ensimmäinen alkukolmio on tylppäkulmainen. Jukkis sen heti piirsi ja meille linkkasi.
268. Jaska12.1.2016 klo 09:07
Matti, sen ekan sivut ovat siis 13, 19, 22, eikö niin. Laskitko kulmien astemäärät kosinilauseella? Mikä oli tulos? Onko se varmasti oikea?

Itse tsekkasin ekan piirtämällä sivun 22 päätepisteistä kaksi ympyränkaarta säteinä 13 ja 19. Leikkauspiste on siis sivun 22 vastaisen kulman kärkipiste. Kulma on silmämääräisestikin niin selvästi alle 90 astetta, ettei ole tarpeen lähteä astemittaostoksille.
269. Jaska12.1.2016 klo 09:23
Aamupöpperössä en heti tajunnut, että eihän siinä mitään piirroksia tarvita. Onhan a^2 + b^2 suurempi kuin c^2.
270. Jaska12.1.2016 klo 09:33
No nyt olen jo vähän paremmin hereillä. OK:n alkuperäinenhän on sarjan toka 17-22-31, joka on tylppäkulmainen. Eka on siis teräväkulmainen. Molempia sortteja näkyy jatkossa löytyvän.
271. Olavi Kivalo12.1.2016 klo 10:45
Mielenkiintoista:
Kun korotin toiseen tuon edellä esittämäni lausekkeen keskimmäisen neliön sivulle
3*Sqrt[289+8*Sqrt(910)]-3*Sqrt(65)
en onnistunut sieventämään sitä kokonaisluvuksi 2016, mutta numeerisesti sen arvoksi saadaan sadalla desimaalilla
2016.000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 0joka NÄYTTÄÄ kokonaisluvulta.
272. Olavi Kivalo12.1.2016 klo 11:28
Toisin sanoen, analyyttisen ratkaisun avulla saadut tulokset yhtyvät noihin Jukkiksen julkaisemiin, mutta tuo ylläoleva tällä hetkellä ihmetyttää. Ehkä joku kertoo.
273. Jukkis12.1.2016 klo 12:02
Mitä sinä täsmälleen tarkoitat tuolla "analyyttisellä ratkaisulla"? Jotain sellaista ratkaisuako, joka johtaa mm. tuohon ihmeelliseen lukuun 3*Sqrt[289+8*Sqrt(910)]-3*Sqrt(65)?
274. Olavi Kivalo12.1.2016 klo 12:14
Niin.
275. Antti12.1.2016 klo 13:03
OK, lausekkeesi arvoksi sain noin -1,157.
276. Jaska12.1.2016 klo 15:02
Ei kai siitä nyt sentään negatiivista tule?
277. Jukkis12.1.2016 klo 15:57
Siis kyllähän
3*sqrt[289+8*sqrt(910)]-3*sqrt(65) = 44.89988864....
Joka on tismalleen sqrt(2016).
278. Jukkis12.1.2016 klo 17:47
Pyörittelin hetken tuota (3*sqrt[289+8*sqrt(910)]-3*sqrt(65))^2 päämääränä todistaa, että sen arvo on kokonaisluku 2016. Mutta eipä siitä taida mitään tulla.

Sellaiseen päädyin, että pitäisi osoittaa, että lukujen 18*sqrt[18785+520*sqrt(910)] ja 72*sqrt(910) desimaaliosa on sama. Mutta siihen se sitten tyssäsi.
279. Olavi Kivalo12.1.2016 klo 19:50
Analyyttisen ratkaisun avulla voi helposti tarkastella kaikkia kuviossa esintyviä suureita. Poimitaan näyte sarjasta 113-142-209. Tällöin alkukolmion pinta-ala on (Heronin kaavan mukaisesti) 7559.67…
Kuviossa esiintyvät kolme muuta kolmiota muodostavat suorakulmaisen kolmion, jonka pinta-ala on siis näiden kolmen summa eli "kokonaisluku" 22679.
Näiden kolmioiden pinta-alat ovat keskenään samansuuruiset eli 22679/3 jolloin siis kaikki neljä kuviossa esiintyvää kolmiota ovat samansuuruisia.
280. Antti13.1.2016 klo 07:55
Laskelmani oli virheellinen. Sittemmin sain 44.89988864....
281. Olavi Kivalo13.1.2016 klo 09:58
Hyvä. Tulee ottaa teksti niin kuin kirjoitettu on.
282. Olavi Kivalo13.1.2016 klo 10:42
Jos tästä ongelmasta haluaa poimia kiinnostavia lukujonoja, niin mm. tämä ei esiinny OEIS:ssä
13,17,25,37,41,53,61, ...
283. Jaska13.1.2016 klo 12:02
Tutkailtua. Niin kauas kuin silmä siintää, ei 5a^2 = b^2 + c^2 toteudu a:n ollessa parillinen tai pariton kolmella jaollinen. Niiden neliöiden ka kahden neliöin summien syklisyyden perusteella näin on äärettömiin. Alkukolmion a:n tulee siis olla muotoa 6n plus miiun yksi.

Muuten mitä nappuloita painaltamalla + ja - saadaan allekkain niin kuin Jukkiksella 11.1. 16:25?

Probleemi. Kun alkukolmio jaetaan kahdeksi suorakulmaiseksi kolmioksi, niin kummankin yksi sivu on alkuperäisen kolmion kokonaisluku. Ovatko kaksi muuta

1. molemmat kokonaislukuja
2. vain toinen on kokonaisluku
3. Kumpikaan ei ole kokonaisluku

Ihan vain tuntemuksena veikkaan kolmosvaihtoehtoa.
284. Jukkis13.1.2016 klo 12:07
Ettäkö miten saa kirjoitetua 6n±1?

Varmaan siihen joku näppäinkoodi on, mutta helpoiten tuommoisen saa ottamalla sen leikepöytään ja sitten sieltä pois haluamaansa paikkaan.
285. Matti13.1.2016 klo 22:57
Mielenkiintoinen juttu tuo lausekkeen sqrt(2016) sieventäminen. Vähän pääsin eteenpäin.

3sqrt(289+8sqrt(910))-3sqrt(65)=x

sqrt(2601+sqrt(4717440))=x+sqrt(585), korotetaan toiseen:

2601+sqrt(4717440)=585+x^2+sqrt(2340x^2)

Kun sijoitetaan x^2=2016, neliöjuuritermit supistuvat, ja kokonaisluvut supistuvat. Yhtälö toteutuu.
286. Jukkis14.1.2016 klo 08:50
Jahas, tietysti se olikin noin yksinkertaista. Jotenkin taas sellainen olo, että olis pitänyt itsekin keksiä.
287. Matti15.1.2016 klo 17:12
Tämän säikeen teemat taitavat olla paketissa. Aloitetaan uudet avaukset säikeessä Lukujono 17.
↶ Takaisin aiheisiinSiirry ylälaitaan ↑
KOMMENTOI

Pakolliset kentät merkitty tähdellä *