KESKUSTELUT > MUUT AIHEET > LUKUJONO 3
4860. Lukujono 3
Matti3.6.2009 klo 09:53
Jatketaan numeropähkäilyjä täällä.2. Antti3.6.2009 klo 12:18
1, 2, 4, 8, 16, 77, 145, 668, 1345, 6677, 13444, ?
3. nassakka3.6.2009 klo 18:20
55778Edellisen tehtävän "kehittyneempi" versio. Kaikkea se ihmismieli keksiikin...
4. Matti3.6.2009 klo 18:45
55778
5. Matti3.6.2009 klo 18:46
Höh, unohdin päivittää sivun.
6. Antti4.6.2009 klo 06:41
Hyvä! Arvasinkin oikein ratkaisevanne.1, 2, 9, 730, 737, ?
7. Antti5.6.2009 klo 10:31
Viimeistä edellisessä otettiin jonon viimeinen luku (v). Numeronsa päinvastaiseen järjestykseen kääntämällä saatiin u.
Laskettiin t = u + v ja järjesttettiin t:n numerot pienimmästä suurimpaan.
Viimeinen lukujonotehtävä ei vaadi numeroitten paikan vaihtoa:
1, 2, 9, 730, 737, ?
Odotan luottavaisena ratkaisuanne.
8. nassakka5.6.2009 klo 18:22
9=1^3+2^3730=1^3+9^3
737=2^3+9^3
Olisiko seuraava sitten 1^3+730^3 = 389017001 ?
9. Antti5.6.2009 klo 19:42
En pettynyt luottamuksessani.Nyt toiset ovat tehävänantovuorossa.
10. nassakka5.6.2009 klo 20:44
Kokeilin muudanna päivänä erästä vanhaa (oik. ikivanhaa) laskujuttua. Kun sivutuotteena syntyi joukko lukuja, annan ne muidenkin ihmeteltäviksi.3, 7/3, 47/21, 2207/987 ,?, 23725150297407/
10590409857723,...
Päästyäni tehtävän muotoilussa tähän saakka huomasin , että vastaus on helposti (?) nähtävissä ilman tietoa varsinaisesta jutun juonesta. Senpä vuoksi totean,että jono
2, 9/4, 161/72, 51841/23184, 5374978561/
20403763488,...
on muodostettu samalla periaatteella samaan päämäärään pyrkien.
Siis: Oikeaa vastausta kiinnostavampaa on tieto siitä, miksi näitä murtolukuja on laskeskeltu.
11. Antti6.6.2009 klo 08:51
Lieneekö jostakin salakirjoituksesta kysymys?Siinä, missä yllä on 10590409857723,
odottamani luku on 10610209857723.
12. Jukkis6.6.2009 klo 12:12
51841/23184 on aika hyvä neliöjuuri 5:n likiarvo, samoin 2207/987. Muistakin jotkin on jonkinlaisa saman asian likiarvoja, mutta sitten esim. 5374978561/20403763488 on ihan jotain muuta. Joten en minä ainakaan tajua tuosta juuri mitään.
13. nassakka6.6.2009 klo 19:46
Antti, olet oikeassa. Jäihän sinne virhe, vaikka muka muutamasti tarkastin.Jukkis, on siellä toinenkin virhe. Pitäisi olla 2403763488.
Siis sekoiluksi meni, anteeksi.
Jäljillä olette.
14. Juhani Heino6.6.2009 klo 20:10
Jep, Jukkis taisi olla oikeassa 5:n neliöjuuresta. Vanha kaava:Otetaan jokin luku, nyt 1.
5/1 = 5, otetaan keskiarvo siitä ja 1:stä, se on 3.
5/3, otetaan keskiarvo siitä ja 3:sta, se on 7/3.
Ja niin edelleen. Toisessa tapauksessa on otettu luku 3 ja tehty sama.
15. Juhani Heino6.6.2009 klo 20:23
Sekoilin tuossa jälkimmäisessä, ei täsmännyt sittenkään. Ilmeisesti nassakka laittoi tuon otettavan luvun jonon alkuun. Sattui vain täsmäämään 1:n seuraavaan iteraatioon.Siis ensimmäisenä on valittu luku, sanotaan sitä vaikka 5:n neliöjuuren likiarvoksi - ensin on lähestytty 3:n puolelta ja toisessa 2:n puolelta.
16. nassakka6.6.2009 klo 21:37
No niin, näyttää homma ratkenneen. Eli oli kysymys luvun 5 neliöjuuren iteroinnista babylonialaisten kehittämällä menetelmällä.Hiukan toisin sanoin systeemi on seuraava:
Laskettava luvun x neliöjuuri
a) valitaan a(0) = (kokonais)luku mielellään lähellä kysyttyä juurta
b) a(n+1) = [a(n) +x/a(n)] / 2
Riittävän tarkka likiarvo löytyy uskomattoman nopeasti.
Niin ja ? = 4870847/2178309 (=2.236067978)
Ensimmäisessä jonossa on valittu lähtöarvoksi 3, toisessa 2.
17. Jaska9.6.2009 klo 20:15
Ei kai seuraava ole jo ollut. En viitsi tsekata.1, 2, 3, 6, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 18, 20, 21, 22, 23, 27, ?
18. Jaska10.6.2009 klo 22:34
Ideaa ehkä selventää, kun jono aloitetaan vasta kuutosesta. Se on oikeastaan siten loogisempikin.
19. Antti13.6.2009 klo 07:42
Vaikealta tuntuu.Välipalaksi ehkä vähän helpompaa:
5, 50, 401, 1682, 4901, 11450, 23105, 42026, 70757, ?
20. Jaska13.6.2009 klo 11:08
112226Neliöiden avulla omakin tehtäväni ratkeaa. Aloitetaan jono siis vasta kuutosesta.
21. Jaska14.6.2009 klo 23:14
Ei siis ole ratkennut vielä. Juhani Heinon Multigrade Equationista kähvelsin siihen pienen ideantyngän. Nyt pitäisi...
22. Jaska17.6.2009 klo 17:22
...jo kai julkistaa ratkaisu.Lukujen neliöiden yksittäisten numeroiden summa on niin ikään kokonaisluvun neliö.
23. Jaska17.6.2009 klo 17:24
Ja taas pätki. Jäi ilmoittamatta seuraava luku 30.
24. Antti17.6.2009 klo 21:17
Jaskan tehtävä on hyvä tehtävä!1, 2, 3, 3, 5, 6, 8, 11, 14, 19, 25, 33, 44, 58, ?
25. Antti18.6.2009 klo 11:27
Opastus: Edellisessä jonossa 1, 2, 3 on pohja, jolta jono rakentuu. Jonnon sääntö näkyy seuraavista luvuista.
26. Matti18.6.2009 klo 19:02
Jaskan jonosta puuttuu 10. No se ei ole suuri synti.
27. mlo18.6.2009 klo 20:05
77
28. Antti18.6.2009 klo 20:24
Niin, a(n) = a(n-2) + a(n-3), n=4, 5, 6, ...
29. Jaska18.6.2009 klo 22:00
Matti oli tarkkana, kiitos. Vastoin Antin mielipidettä se ei siis ollut hyvä tehtävä, koska siinä oli virhe.
30. Antti26.6.2009 klo 15:08
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, ?
31. ++juh27.6.2009 klo 12:03
30
32. Antti28.6.2009 klo 20:55
Niin. Jonon jokainen luku on numeroittensa summalla jaollinen.
33. Juhani Heino29.6.2009 klo 00:22
1, 11, 37, 101, 271, 37, 4649, 137, 333667, 9091...Vinkki: kahdessa ekassa luvussa idea näkyy selvimmin.
34. Matti29.6.2009 klo 12:42
513239
35. Juhani Heino29.6.2009 klo 20:35
Matti on aivan oikeassa. Haluaako joku muu vielä kertoa idean?
36. Matti30.6.2009 klo 20:44
Juhani Heinon jonossa on lukujen 1, 11, 111, 1111, jne. suurimmat alkutekijät.
37. Antti30.6.2009 klo 20:49
Todella hyvin keksitty ja hyvin ratkaistu tehtävä.
38. Juhani Heino30.6.2009 klo 21:00
Juuri noin. Laitetaan samalla täytteeksi pieni pohdinta.2, 3, 4, 5, 6, 7...
3, 6, 10, 15, 21, 28...
4, 10, 20, 35, 56, 84...
5, 15, 35, 70, 126, 210...
6, 21, 56, 126, 252, 462...
Jonot muistuttavat kallistettua Pascalin kolmiota, joten jatkaminen on helppoa. Mutta mihin nämä voisivat liittyä? Itse törmäsin näihin kehittäessäni erään tunnetun pelin tietokoneversiota. Sen yleisin muunnelma on alimman rivin 126, ilman järjestämistä se olisi 1296. Tulikohan sotkettua jo tarpeeksi...
39. Antti1.7.2009 klo 09:30
a(i,1) = i+1, i = 1, 2, 3, ...a(1,j) = j+1, j = 1, 2, 3, ...
a(i,j) = a(i-1,j) + a(i,j-1), i,j = 2, 3, 4, ...
a(i,j) on suure, joka lisääntyy kahden vaikuttajan lisäämänä. Vaikuttajat vaikuttavat yhtä voimakkaasti ja sitä voimakkaammin, mitä suurempi suureen arvo on.
40. Juhani Heino1.7.2009 klo 21:41
Voi sen noinkin ilmaista. Panttaan vielä hiukan jos joku haluaisi arvailla, mutta nämä tulevat kombinaatioista (v-1+p) yli p.Rivit ovat siis v alkaen 2:sta ja "sarakkeet" p alkaen 1:stä. Ja mainitsemassani 126-esimerkissä v=6, p=4.
41. Antti2.7.2009 klo 17:47
1, 3. 4, 4, 6, 6, 8, 8, 9, 10, 12, 12, 14, 14, 15, 16, 18, ?
42. Matti2.7.2009 klo 23:35
Kysynpä minäkin välillä jotain. XY-tasossa on hilapisteet(1,1) (1,2) (1,3) ... (1,m)
(2,1) (2,2) (2,3) ... (2,m)
(3,1) (3,2) (3,3) ... (3,m)
...
(n,1) (n,2) (n,3) ... (n,m)
Kuinka monta erilaista reittiä johtaa pisteestä (1,1) pisteeseen (n,m), kun liikutaan vain vaaka- ja pystysuuntaan, vain ykkösen pituisin askelin, ja vain oikealle ja ylös?
43. Juhani Heino3.7.2009 klo 22:00
En vielä paljasta enempää, mutta näyttää siltä että ylläolevia kombinaatioitani voi soveltaa tähänkin.
44. ++juh4.7.2009 klo 00:55
Antin jonon (2.7.2009 klo 17:47) seuraava eli 18:s luku on 18.
45. Jaska4.7.2009 klo 10:29
Jospa Juhani Heino jo tänään kertoisit, mihin peliin kombinaatiosi liittyvät. Todennäköisesti minulle tuntematon tietokonepeli? Voisihan kyseessä olla vakioveikkauskin, jonka parissa olen itsekin enemmän tai nykyisin vähemmän puuhaillut. Etenkin luku 1296 voisi viitata siihen.
46. Juhani Heino4.7.2009 klo 11:26
Jep, aioinkin kirjoittaa tänään myöhemmin. Teen kompromissin - kerron oman juttuni mutta en vielä miten se liittyy Matin pulmaan, vaikka tämä helpottanee sitäkin selvästi.Peli on Mastermind, myyty monenlaisina lautapeleinä, toteutettu lukemattomina tietokoneohjelmina ja tutkittu matemaattisesti, pelithän usein ovat kiinnostavana esimerkkinä opiskelijoille.
Wikissä selostetaan pelin säännöt jos ne eivät ole tuttuja. Tässä on olennaista että "laatija" tekee salaisen rivin annetuista väreistä. Tavallisin versio on nelipituinen rivi kuudesta väristä. Erilaisia rivejä on silloin 6^4 eli 1296. Rivejä ratkovaa tietokoneversiota varten sain oivalluksen että muistia ja suoritusaikaa säästyy kun käsittelen värikombinaatiot ja niiden permutaatiot erikseen (vinkiksi annettavien valkoisten ja mustien tappien summa on aina sama kaikilla permutaatioilla). Muistiin tallennetaan siis vain erilaiset järjestyksessä olevat rivit. Juuri niiden lukumäärä on nyt kyseessä.
Järjestyksessä olevien p-pituisten merkkijonojen määrä, kun valitaan v merkin joukosta, on kombinaatio (v-1+p) yli p.
Esimerkkeinä muutama satsi taulukon alusta.
2: A, B
3: AA, AB, BB (BA jää pois koska B ei saa olla ennen A:ta)
4: AAA, AAB, ABB, BBB
3: A, B, C
6: AA, AB, AC, BB, BC, CC
10: AAA, AAB, AAC, ABB, ABC, ACC, BBB, BBC, BCC, CCC
47. Antti6.7.2009 klo 05:28
Jonossani alkulukuihin oli lisätty 1, muut luvut oli otettu muuttamattomina.
48. Matti6.7.2009 klo 12:15
Kuinka monta reittiä ... Ratkaisu.Merkitään kysyttyä reittien lukumäärää X(m,n). Pisteeseen (m,n) pääsee yhdellä askeleella kahdesta pisteestä: (m-1,n) ja (m,n-1).
Siitä seuraa, että X(m,n) = X(m-1,n) + X(m,n-1). Kun vielä X(m,1)=X(1,n) = 1, ratkaisu on Pascalin kolmio kallistettuna. Siis X(m+1,n+1) = (m+n)!/m!/n! = (m+n) yli m.
(Aloitin indeksoinnin ykkösestä. Jos olisin aloittanut nollasta, olisi ratkaisu ollut vielä "siistimpi": X(m,n) = (m+n) yli m.)
49. Juhani Heino6.7.2009 klo 12:17
Ei tainnut tulla muilta ehdotuksia Matin pulmaan. Ensin poistetaan mahdollinen kompa: siten kuin Matti taulukon esitti, reittejä ei ole ollenkaan. Mutta uskon Matin tarkoittaneen että rivi 1 on alhaalla kuten koordinaatistossakin olisi.Sen voi nähdä ylläolevina merkkijonoina: merkki tarkoittaa saraketta johon siirrytään ennen kuin noustaan yksi rivi ylös. Koska vasemmalle ei voi siirtyä, merkkijonot ovat järjestettyjä.
Merkkivalikoima v on rivien pituus eli m.
Merkkijonon pituus p on rivien lukumäärästä n-1, koska ylimmällä rivillä ei enää voi valita kohtaa vaan siirrytään loppuun. Tai toisin nähtynä, siitä ei enää voi siirtyä ylös kuten edellisillä riveillä.
Kombinaatio on (m+n-2) yli (n-1).
50. Juhani Heino6.7.2009 klo 12:18
Olipa hyvä ajoitus meillä :)
51. Antti8.7.2009 klo 09:33
a(j), j=1, 2, 3, ... on kompleksilukujono.b(j), j=1, 2, 3, ... on toinen kompleksilukujono.
a(1)*b(1), a(2)*b(2), a(3)*b(3), ...
=5, 13, 34, 65, 146, 205, 338, 425, 610, ?
(0:n suuruisia imaginaarosia ei ole merkitty.)
a=?
b=?
52. Juhani Heino9.7.2009 klo 22:26
Ei ole vastauksia tullut - jospa annan jonon jatkon: 941 omien laskujeni mukaan.
53. Antti10.7.2009 klo 05:35
Laskit oikein! Ehkä joku kertoo vielä a:n ja b:n.
54. Juhani Heino10.7.2009 klo 23:36
Kaipa tässä on jo tarpeeksi vastausaikaa annettu halukkaille.Käsittääkseni a:t voi muodostaa 8 eri tavalla - voi ajatella niitä vaikkapa koordinaattipisteinä origon ympärillä, symmetrisesti samalla ympyrällä. Sopivalla kertoimella näitä voi jopa sotkea eri jonoihin, joten jonoja on vielä enemmän. Mutta otetaan tähän yksinkertainen versio.
a(j) = p_j + ji
eli j:s alkuluku (viivalla koetin kuvata alaindeksiä) ja j itse imaginaariosan kertoimena. Siis:
2+i, 3+2i, 5+3i, 7+4i...
Joka tapauksessa b(j) on a(j):n liittoluku; edellisen version kanssa p_j - ji
2-i, 3-2i, 5-3i, 7-4i...
55. Olavi Kivalo11.7.2009 klo 11:14
"Joka tapauksessa b(j) on a(j):n liittoluku"Sanotaan, että a(j) = 1+i kaikilla j:n arvoilla. Tällöin saadaan
b(j) = (5/2)(1-i), (13/2)(1-i), (34/2)(1-i), ...
Jos a(j) = 1+j*i eli a(j) = 1+i, 1+2i, 1+3i, ..., saadaan
b(j) = (5/2)(1-i), (13/2)(1-2i), (34/2)(1-3i), ...
jne.
Toinen lukujonoista voidaan valita vapaasti.
Jos a(j) = q(j)+p(j)*i, saadaan
b(j) = (5/(q(1)^2+p(1)^2))(q(1)-p(1)*i), (13/(q(2)^2+p(2)^2))(q(2)-p(2)*i), (34/(q(3)^2+p(3)^2))(q(3)-p(3)*i),... tai edellisellä notaatiolla
b(j) = (p_j/(q(j)^2+p(j)^2))(q(j)-p(j)*i)
56. Juhani Heino11.7.2009 klo 16:30
"Joka tapauksessa" siis tällä systeemillä jolla itse muodostin jonot.
57. Antti12.7.2009 klo 17:52
Käyttämäni a(j), (j=1,2,3,...) olij:s kokonaisluku [1:stä aloitettuna] + i * j:s alkuluku ja,
kuten Juhani Heino sanoi,
b(j), (j=1,2,3,...) = a(j):n liittoluku.
58. Olavi Kivalo13.7.2009 klo 00:29
Esittämääni lausekkeeseen pääsi livahtamaan virhe, kun pyrin käyttämään Juhani-Heino-notaatiota. Käyttämäni p_j tulee tietysti korvata termillä p_j^2+j^2, jossa siis p_j on j:s alkuluku.Tämä yleinen ratkaisu sisältää Antin ratkaisun erikoistapauksessa, jossa q(j)=j:s alkuluku ja p(j)=j.
59. Juhani Heino14.7.2009 klo 21:41
Toivottavasti ei ole ollut jossain aiemmassa säikeessä, mutta tuskin haittaa vaikka pohtisi uudestaan:0, 1, 2, 4, 7, 12, 20, 33, 54, 88, 143, 232, 376...
60. ake14.7.2009 klo 22:41
609
61. Juhani Heino14.7.2009 klo 22:59
Jep. Haluaako joku vielä kehitellä suljetun kaavan? Jono syntyi näin:Kuinka monella tavalla annetun pituiseen tilaan saadaan laitettua 2:n pituisia pätkiä? Jonon alusta esimerkeiksi:
0: 1-pituiseen ei tietenkään kertaakaan
1: 2-pituiseen yhdellä tavalla
2: 12, 21
4: 112, 121, 211, 22
7: 1112, 1121, 1211, 2111, 122, 212, 221
Jono F(x) muodostuu näin: mahdollisuuksia, joissa viimeisessä ruudussa ei ole 2:n pituista pätkää, on täsmälleen F(x-1).
Jos taas viimeinen ruutu kuuluu 2-pätkään, mahdollisuuksia on F(x-2) joissa on vähintään yksi 2-pätkä, ja lisäksi tyhjä jolloin viimeinen 2-pätkä on ainoa.
F(1) = 0
F(2) = 1
F(x) = F(x-1) + F(x-2) + 1
62. Jaska14.7.2009 klo 23:27
Ja jonon lukujen erotukset siis = Fibonaccin luvut.
63. Olavi Kivalo17.7.2009 klo 13:41
Tällaista pukkaa (n=3,4,5,...)F(n) = -((-5 - 3 Sqrt[5])/(5 (1 + Sqrt[5])))*((1 + Sqrt[5])/2)^n
- (-1 +Sqrt[5])/(2 Sqrt[5])*((1 - Sqrt[5])/2)^n - 1
64. Matti17.7.2009 klo 16:17
Tämä ei ole lukujono, vaan pulma.Tunturin laella on 300 m korkea radiomasto. Sen huipusta irtoaa pultti ja se putoaa suoraan kohti maata. Matkalla se osuu maston rakenteisiin ja kimmahtaa poispäin. Kuinka kauas maston juuresta se voi päätyä? Maas´ on hanki, joten pultti ei maassa enää vieri.
65. Jukkis17.7.2009 klo 17:33
Onko tehtävä tarkoituksella tehty epämääräiseksi olettamalla, että masto on tunturin laella?
66. Matti17.7.2009 klo 19:44
Masto on tehtävän kannalta tasamaalla. "Tunturin laella" on tapeetonta oheishöpinää.
67. Jukkis17.7.2009 klo 21:03
Minä sain ekalla yrityksellä vastaukseksi tasan 600 metriä.
68. Jaska17.7.2009 klo 22:32
Kysymys kuuluu siis, kuinka kauas pultti VOI päätyä ilman ehtoja, kuten vähintään tai enintään. Vastaan, että pultti voi päätyä esim. 300 metrin päähän maston juuresta. Maston ylläpito löytää pultin hangesta maston juurelta ja kiikuttaa sen takaisin irtoamispaikalle.
69. nassakka18.7.2009 klo 08:30
Oletettaneen,että ilmanvastusta ei huomioida. Samoin pultin törmäys rakenteisiin oletettaneen täysin kimmoisaksi. Eli pultin liike-energia säilyy törmäyksessä, liikkeen suunta vain muuttuu. (Kumipallo vastaisi paremmmin idealisointia.)Näillä oletuksilla oletan, että Jukkis on oikeassa.
Pultti osuu maston rakenteisiin maanpinnan tasolla nopeudella 77 m/s ja kimpoaa maanpintaan nähden n. 45 asteen kulmassa poispäin mastosta päätyen n. 600 m päähän.
Tietysti voidaan saivarrella ,että pitäisi tietää paikkakunta, koska maan vetovoiman kiihtyvyys vaihtelee. Kuitenkin paljon suurempi virhe aiheutuu alussa mainituista yksinkertaistuksista.
70. nassakka18.7.2009 klo 09:24
Eipä se taidakaan riippua maan vetovoiman kiihtyvyydesta. Pikku geet supistuvat pois, kun ei sijoita lukuarvoja liian aikaisin.
71. Jaska18.7.2009 klo 11:52
Jukksi ja nassakka ovat ilmeisesti laskeneet maksimietäisyyden, johon pultti voi pudota kimmottuaan lähinnä maanpintaa olevasta maston osasta? Kuinka lähellä? Entä pultin koko, paino, kimmoisuuskerroin, kulma jossa se osuu rakenteeseen, ilmanvastus jne?
72. Jukkis18.7.2009 klo 15:41
Tuo (tasan) 600 m tulee, kun pultti kimpoaa maanpinnan tasalta (tasan) 45 asteen kulmassa. Jos pultti kimpoaa ylempää, niin optimikulma on alle 45 astetta, esim. jos kimpoaminen tapahtuu 50 metrin korkeudelta, niin pisimmälle se lentää, jos kimpoamiskulma on noin 42.4 astetta, jolloin se lentää 547.7 metrin päähän.Tuon 600 m saa helpohkosti kaavoja pyörittelemällä, mutta sen todistaminen, että se tosiaan on etäisyyden maksimi, vaikutti sen verran työläältä, että vakuutin itselleni numeerisilla laskelmilla että kyllä tuo 600 m on maksimi.
73. Juhani Heino18.7.2009 klo 22:53
En tiedä millä tavalla Olavi Kivalo päätyi kaavaansa, mutta hyvältä näyttää. Ajattelin että hänen työtään täytyy kunnioittaa tekemällä sama perässä, tosin luultavasti käytin eri reittiä.En keksinyt miten tehdään karakteristinen funktio tuosta F(x) = F(x-1) + F(x-2) + 1 jossa on siis vakiotermi mukana. Niinpä kiersin ongelman. Kuten Jaska totesi, erotukset ovat Fibonaccin luvut. Tarkemmin sanoen F(x) = Fib(x+1)-1 jos Fibonaccin jono merkitään tavalliseen tapaan Fib(1)=1, Fib(2)=1.
Huomasin muuten tästä että tämä jono antaa myös Fibonaccin lukujen summan tiettyyn pisteeseen asti:
1 = 1, 2 = 1+1, 4 = 1+1+2, 7 = 1+1+2+3, 12 = 1+1+2+3+5...
Fibonaccin luvuille tunnetaan jo valmiiksi Binet'n kaava, mutta karakteristisella funktiolla sen saa itsekin rakennettua aika helposti. Jos joku haluaa, voin selittää välivaiheita, mutta lopulta päädytään kaavaan
F(n) = ((1 + sqrt(5))^(n+1) - (1 - sqrt(5))^(n+1)) / 2^(n+1) / sqrt(5) - 1
Alkuosassa on Binet'n kaava Fibonaccin luvulle Fib(n+1) ja lopuksi vähennetään 1.
Jostain syystä Genius-ohjelma (vastaa Matlabia ja Maplea, Jukkis saattoi mainita tämänkin) antaa tällä kaavalla arvot tarkemmin kuin OK:n kaavalla, johtuneeko vähemmistä juurenotoista. Joka tapauksessa OK:n kaavakin näyttää oikeita arvoja kun pyöristetään kokonaisluvuksi.
Pyöristämällä muuten on toinenkin tapa laskea:
F(n) = ((1 + sqrt(5)) / 2)^(n+1) / sqrt(5) - 1
taas lainattuna Fibonacci-kehitelmistä ja ottaen Fib(n+1)-1
74. Olavi Kivalo19.7.2009 klo 02:22
Sori, tuli kiireessä taas sählättyä. Vakiokertoimissa oli pikkuvirhe.Oikea lauseke on (n=0,1,2,3,...):
F(n) =
((3 + Sqrt[5]) ((1 + Sqrt[5])/2)^n - (3 - Sqrt[5]) ((1 - Sqrt[5])/2)^n)/( 2 Sqrt[5]) - 1
Tämä tulee kyseisen epähomogeenisen differenssiyhtälön ratkaisusta. Nyt arvot ovat täsmällisiä.
75. Juhani Heino20.7.2009 klo 01:06
Paikkansa pitää. En osannut epäillä virhettä vaan pistin pyöristysten tiliin. Etenkin kun tuloksia luvattiin vasta 3:sta lähtien. Nyt kummankin kaavat toimivat 0:sta alkaen, määrittely vain on erilainen: mulla jono alkaa F(1)=0 alkuperäisen jonomääritelmän takia, Olavi Kivalolla F(0)=0. Pikkuseikka joka saataisiin korjattua muuttamalla jommankumman kaavasta n-esiintymät.
76. Olavi Kivalo20.7.2009 klo 16:46
Matin radiomasto on niin ideaalinen, että on pakko esittää uusi versio. Todennäköisyys, nimittäin, että pultti kohtaa maston rakenteet vasta juurella, eikä aiemmin, on aika riivatun pieni, joten tarkastellaan seuraavaa.Maston yläosassa on rakenteita, joihin suoraan alaspäin putoava pultti todennäköisesti osuu ja kimmahduskulma voi olla mikä tahansa. On myös hyyvin todennäköistä, että pultti löytyy huomattavasti lähempää kuin 600 metrin päästä.
Sanotaan, että oikeesti löydetään pultti 200 metrin päästä mastosta maastosta. Maston yläosassa tiedetään olevan sellaisia rakenteita noin neljän metrin matkalla, joihin pultti todennäköisesti osuu ja voi kimmahtaa vinosti ylös, vaakasuoraaan tai vinosti alas. Millä korkeudella rakenteet ovat ja missä kulmassa pultti on mahdollisesti kimmahtanut?
77. Matti20.7.2009 klo 22:00
En kommentoi OK:n viimeisintä inputtia radiomastopulmaan, mutta itse pulmasta pari huomiota. Jos pultti kimpoaa maan pinnasta, niin silloin kauimmaksi vie 45 asteen sirontakulma. Tämän kai voi pitää tunnettuna tosiasiana. Tästä päätellään, että jos pultti kimpoaa ylempänä, niin kauimmaksi vie rata joka osuu maahan 45 asteen kulmassa. Se on siis samanmuotoinen paraabeli, kuin maasta 45 asteen kulmassa kimpoava, ja selvästi se vie lähemmäs kuin maasta kimpoava rata. MOTTämä voi olla saivartelua, mutta ei tarvitse olettaa, että törmäys on täysin kimmoisa, että ilmanvastus on nolla, että pultti ei ilmassa pyöri itsensä ympäri, että ... Todetaan vaan, että ellei näin ole, pultti putoaa lähemmäksi, kun liike-energiaa menee hukkaan. 600 metriä on yläraja jota ei saavuteta, mutta vähän omaatuntoa venyttäen voidaan sanoa, että 600 m on pienin yläraja.
Minua on aina kismittänyt se, että Fibonacci-lukujen alku on 1 ja 1. Sen pitäisi olla 0 ja 1, reaalianalyysin kaksi peruslukua. Sarjahan säilyy samana, indeksointi vaan muuttuu yhdellä. Lisäksi 0 ja 1 alulla saadaan differenssiyhtälön ratkaisun kertoimet yksinkertaisemmiksi: +-1/sqr[5], kun ne muuten olisivat (3 +- Sqrt[5])/( 2 Sqrt[5]). Nostatetaan kansanliike ja vaaditaan Fibonacci-lukujen aluksi 0 ja 1.
78. Juhani Heino20.7.2009 klo 22:45
Voihan määritellä että Fib(0) = 0. Tässä yleisesti käytetyssä versiossa on se pieni etu, että Fibonacci-luku voi olla alkuluku vain jos vastaava indeksilukukin on alkuluku. Poikkeuksena on Fib(4) = 3 mutta siihenkin on syy josta kohta lisää. Toki tämä on vasta perusedellytys - niistäkin luvuista vain osa on alkulukuja.Fibonacci-luvuilla on tällainen ominaisuus: esim. Fib(3) = 2, ja siitä lähtien 3:n välein luvut ovat jaollisia 2:lla.
Fib(4) = 3, ja siitä lähtien 4:n välein luvut ovat jaollisia 3:lla jne.
Tästä seuraa, että jos indeksiluku on jaollinen, Fibonacci-lukukin on jaollinen tekijöitä vastaavilla Fibonacci-luvuilla. Vaikkapa Fib(20) = 6765 on jaollinen Fib(10):llä, Fib(5):llä ja Fib(4):llä. Yllämainittu Fib(4) on poikkeus siksi että Fib(2) on vain 1 eli ei kerro mitään jaollisuudesta.
Tämä ei enää toimisi jos indeksointia muutettaisiin. Eli en lähde kansanliikkeeseen mukaan :)
79. Olavi Kivalo21.7.2009 klo 01:01
No mikäs siinä on, ettei Matti kommentoi? Laadin tehtävän ratkaistavaksi. Hyväksyn kaikki alkuperäisen tehtävän idealisoinnit, mutta kysyn vain, miltä korkeudelta (noin neljän metrin tarkkuuudella ilmaistuna) pultti kimmahtaa ja missä eri kulmissa, kun etäisyys on 200m.
80. Matti21.7.2009 klo 10:51
OK, kommentoimattomuus ei ollut mielipiteenilmaus. En vaan jaksa nyt paneutua aiheeseen. Juhani Heino, aivan ihmeellisiä jaollisuusominaisuuksia näkyy Fobonacci-luvuilla olevan. Täytyy peruuttaa kansanliike vähin äänin.
81. Antti23.7.2009 klo 16:08
Käykö vaihteeksi yksinkertaiselta vaikuttava tehtävä?1, 8, 25, 56, 105, 176, 273, 400, 561, 760, ?
82. Jaska23.7.2009 klo 21:56
No mikä ettei, 1001.
83. Olavi Kivalo24.7.2009 klo 00:20
a(n) = -(2/3)n +n^2 +(2/3)n^3Lukujonossa on kiinnostavan näköistä jaksollisuuutta. Esim. lukujen a(751)...a(760) kolme viimeistä numeroa toistavat alun, seuraavasti: 282940001, 284071008, 285205025, 286342056, 287482105, 288625176, 289771273, 290920400, 292072561, 293227760. Tietääkö Antti , mistä on kysymys?
84. Antti24.7.2009 klo 07:20
Jaska, oikein.Olavi, jaksollisuus voi juontua siitä, että myös
a(n) = 2*summa(j^2)[j=1,n] - n.
Olavi, onko näin?
85. Juhani Heino24.7.2009 klo 10:41
Pikaisesti vaikuttaa siltä että Antin kaavastakin tuon voisi osoittaa. Mutta ainakin mulle helpommin menee pyörittelemällä hiukan Olavin kaavaa:Riittää että tutkitaan kolmea viimeistä numeroa eli käsitellään lukuja mod 1000.
Koska 3:lla ei ole yhteisiä tekijöitä 1000:n kanssa, voidaan kertoa sillä ja siten muuttaa kokonaiskertoimiseksi:
2n^3+3n^2-2n
n(2n-1)(n+2)
Sitten tutkitaan tilannetta pisteessä n+250:
(n+250)(2n+499)(n+252)
Voidaan jo tässä vaiheessa yksinkertaistaa modulon avulla eli tuhannet jätetään välituloksista pois.
2n^3+503n^2+498n
Kun tästä vähennetään alkuperäinen:
2n^3+3n^2-2n
saadaan
500n^2+500n
500n(n+1)
n(n+1) on aina parillinen joten erotus on jaollinen 1000:lla.
Siispä a(1) = a(251) = a(501) = a(751) = a(1001) (mod 1000)
jne.
86. Jukkis24.7.2009 klo 14:34
Pulttijuitsusta vielä. Ehkä en ymmärrä, mitä Olavi Kivalo tarkoittaa jatkokysymyksellään 20.7.2009 klo 16:46. Pultti voi kimmahtaa 200 m päähän, jos osumakorkeus on mitä tahansa välillä 0 ... 266.6 m. En keksi, millä periaatteella nyt sitten valitsisin jonkun noin neljän metrin pätkän maston yläosasta vastaukseksi OK:n kysymykseen.
87. Olavi Kivalo25.7.2009 klo 09:14
Hieno jaksollisuusanalyysi Juhani Heinolta. Lukujonossa esiintyy muutakin jaksollisuutta. Mm. 1,8,25 toistuu 10:n välein.Pulttijuitsu. Osumakohtia, joista pultti voi kimmahtaa sekä vaakasuoraan että vinosti ylös ja aina päätyä 200 metrin päähän, on käsitykseni mukaan vain kaksi, toinen maston yläosassa, toinen alaosassa. Näistä ylempää etsitään. (Tuo neljän metrin pätkä on vain lisämauste, jonka voi unohtaa. Sen avulla osumakohta voidaan periaatteessa määritellä siten, että pultti voi kimmahtaa siitä vaakasuoraan ja sekä ylös että alas.)
88. Jukkis25.7.2009 klo 11:03
Ehkä ymmärsin, paitsi että näiden ristiriita edelleen hämää:"...voi kimmahtaa vinosti ylös, vaakasuoraaan tai vinosti alas..."
"...voi kimmahtaa sekä vaakasuoraan että vinosti ylös..."
"...voi kimmahtaa siitä vaakasuoraan ja sekä ylös että alas..."
Mutta siis jos osumakohta on n. 266 m korkeudella, niin sekä vaakasuuntaan lähtevä että n. 37 asteen kulmassa ylöspäin lähtevä kimmahdus heittää pultin 200 m päähän. Ja toinen samanlainen kohta on n. 36 m korkeudella, jolloin kulma ylöspäin pitää olla n. 79 astetta.
Mutta siis tuo "alas" edelleen hämää noissa OK:n kysymyksenasetteluissa. Ja 25.7.2009 klo 09:14 -viestin viimeinen virke kokonaisuudessaan jää hämäräksi.
89. Matti26.7.2009 klo 17:06
Tarua vai totta: Golf-pallon lähtönopeus on aina pienempi kuin mailan pään nopeus ennen osumaa kerrottuna kahdella.
90. Jukkis26.7.2009 klo 17:59
Kun olettaa mailan päälle massan ja nopeuden ennen ja jälkeen osuman ja sitten pallolle massan ja lähtönopeuden ja säilyttää liikemäärän ja energian, niin tulos näyttäis olevan juuri tuo. Eli kun pallon massa lähestyy nollaa, niin sen lähtönopeus kasvaa lähestyen mailan pään nopeutta kertaa kaksi.Sitten voi ruveta miettimään, miten paljon todellinen tilanne poikkeaa oletetusta ideaalista.
91. Juhani Heino26.7.2009 klo 19:50
Ja vastaavasti toisinpäin: jos joku on tehnyt jäynää ja jotenkin kiinnittänyt pallon niin ettei se liikahda lainkaan, maila ei kimpoa takaisin kovemmalla nopeudella kuin sillä alkujaan oli.Haluaako joku pähkäillä taas tekijöiden ominaisuuksia samaan tapaan kuin peräkkäisten kuutioiden erotuksessa?
Jonossa 19, 199, 1999, 19999, 199999, 1999999, 19999999, 199999999...
on tietynmuotoiset tekijät, mutta tällä kertaa erotetaan kaksi tapausta.
92. Jaska27.7.2009 klo 16:43
Jaa että millä muulla kaavalla kuin vain ysejä lisäämällä jono syntyy? Ei valkene. Mutta onhan noilal luvuilla sinänsä kiinnostavia ominaisuuksia. Kun lasketaan lukujen numeromerkit yhteen, summista on osa alkulukuja muotoa 9n + 1, osa jaollisia. Onko siinä jokin tietty rytmi? Sitten sellainenkin kuriositeetti, että 19*91 = 1729, siis kymmenen ja yhdeksän kuutioiden summa.
93. Juhani Heino27.7.2009 klo 18:56
Annetaan vinkki että nuo luvut ovat muotoa 2*10^n-1eli 20, 200, 2000, 20000... ja kaikista vähennetään yksi. Jos n=0, tulos on 2*1-1 eli 1, ja kyllähän se oikeastaan sopisikin jonon aluksi. Siis ykkönen ennen kuin ysejä on alettu lisätä.
Lukuteoreetikoille 1729 on ihan kiinnostava, ks. en.wikipedia.org/wiki/1729_(number)
94. Olavi Kivalo27.7.2009 klo 19:55
Helppo välipala:2,3,5,7,11,101,131,...
95. Juhani Heino27.7.2009 klo 19:59
151?(kymmenjärjestelmässä symmetriset/palindromiset alkuluvut)
96. Matti27.7.2009 klo 20:24
Katsoin netistä noiden Juhani Heinon lukujen alkutekijät aina 2*10^17 - 1 saakka, mutta en siitä viisastunut. Kovin suuria alkutekijät olivat, suurin noin sadas- tai tuhannesosa itse luvusta. 7 esiintyi kolme kertaa, mutta muita alkutekijöitä vain yhdessä luvussa kutakin. En siis tästä mitenkään valaistunut.
97. Juhani Heino27.7.2009 klo 20:32
Seiska varmaankin löytyi sellaisista luvuista joissa oli parillinen määrä ysejä. Tässä siis vielä yksi vinkki. Ja menetelmä on sama neliöksi täydentäminen kuin aiemmassa tapauksessa.
98. Olavi Kivalo27.7.2009 klo 20:37
Jess. Helppo oli. Onko 11 ainoa palindrominen alkuluku, jonka numeroiden määrä on parillinen??
99. Jaska27.7.2009 klo 20:47
Vastaan on.
100. Juhani Heino27.7.2009 klo 20:58
On. Jos palindromisessa luvussa on parillinen määrä numeroita, numerot voidaan jakaa niin että joka toinen numero menee ryhmään 1 ja muut ryhmään 2, ja ryhmissä ovat täsmälleen samat numerot.Ovatko niksit jaollisuuden tarkistamiseksi tuttuja? 11:llä se niksi on että pätkäistään luvun lopusta yksi numero ja vähennetään se jäljellejääneestä osasta. Esim.
1991 -> 199 - 1
198 -> 19 - 8
11 -> 1 - 1
Kun päädyttiin nollaan, luku on 11:llä jaollinen.
Kun mietitään hieman, todetaan että saman asian ajaa kun numerot jaetaan ryhmiin yllämainitulla tavalla. Numeroiden summat vähennetään sitten toisistaan ja katsotaan onko erotus 11:llä jaollinen.
Tuollaiset palindromiluvut siis ovat aina 11:llä jaollisia. 11 on alkuluku, myöhemmät eivät.
101. Jaska27.7.2009 klo 21:36
Toisaalta 17*71*1657 = 1999999, ei yhtään seiskaa (siis lukuna, ei numeromerkkinä).
102. Juhani Heino30.7.2009 klo 00:08
Jospa kerron tässä parillisten tapauksen. Panttaan vielä parittomien tapausta, jos joku vaikka olisi vielä kiinnostunut kokeilemaan.Kun ysien määrä on parillinen:
1, 199, 19999, 1999999...
luku on muotoa 2*10^2k - 1.
Kun p on luvun alkutekijä, se tarkoittaa:
2*10^2k - 1 = 0 (mod p)
Kun luku selkeästi ei voi olla 2:lla jaollinen, voidaan kertoa sillä:
4*10^2k - 2 = 0 (mod p)
4*10^2k = 2 (mod p)
Nyt vasemmalla puolella on neliö, eli 2 on neliönjäännös mod p.
Katsotaan taas taulukosta
mathworld.wolfram.com/QuadraticResidue.html
ja 2:n kohdalla on 8k+-1.
Mainituista luvuista 7 ja 71 ovat muotoa 8k-1, kun taas 17 ja 1657 muotoa 8k+1.
Kun alkutekijät ovat jompaa kumpaa muotoa, myös mitkä tahansa niistä muodostetut tekijät ovat.
103. Antti2.8.2009 klo 16:33
Syvällisten tarkastelujen jälkeen ehdotan seuraavaa:2, 22, 75, 168, 255, -72, ?
104. Olavi Kivalo3.8.2009 klo 11:18
En ole ihan varma mitä säännönmukaisuuutta tässä haetaan, mutta samalla tekniikalla kuin edellä, saadaan 4*10^2k = 5 (mod p), josta seuraaa, että alkutekijät ovat muotoa 10k+-1. Tällöin parittomien tapauksessa alkutekijöinä esiintyy lukuja kuten 19 (ja ilmeisesti myös 21), 29, 31, 59, 61, 69, 71, jne.
105. Antti3.8.2009 klo 14:21
En rakentanut jonoa edellä käsiteltyjä syvälllisiä menetelmiä käyttäen, vaan vaihteluun pyrkien kokonaan toisella tavalla.
106. Olavi Kivalo3.8.2009 klo 19:22
Öh, kommenttini koskee Juhani Heinon 26.7.2009 klo 19:50 lanseeraamaa tehtävää, joka on vielä vähän auki.
107. Olavi Kivalo3.8.2009 klo 20:27
Mikä tässä nyt on kun tulee jatkuvasti huolimattomuusvirheitä. Pitää olla 10^2k=5(mod p), josta siis alkutekijät saadaan.
108. Juhani Heino3.8.2009 klo 21:19
Olavi Kivalo, aivan oikein. Parittomien tapauksessa tekijät, siis muutkin kuin alkutekijät, ovat tosiaan 10k+-1 eli kymmenjärjestelmässä loppuvat aina 1 tai 9.
109. Olavi Kivalo4.8.2009 klo 09:14
Se menee kai näin. Lukujen 2*10^(2k-1)-1 alkutekijät ovat muotoa 10k+-1 ja lukujen 2*10^(2k)-1 alkutekijät ovat muotoa 8k+-1.
Tästä ei tietenkään seuraa, että kaikki luvut jompaakumpaa muotoa olisivat näiden lukujen alkutekijöitä.
Parillisille luvut 1, 7, 17, 23, 31, 89 ovat alkutekijöitä, mutta 9, 15, 25, 33, 39 eivät ole, koska ne eivät ole alkulukuja. Lisäksi 41 ei kuulu alkutekijöiden joukkoon, vaikka on alkuluku.
Parittomille luvut 19, 29, 31, 59, 61, 71 ovat alkutekijöitä, mutta 9, 21, 39, 49, 51, 69 eivät ole, koska ne eivät ole alkulukuja. Lisäksi 11, 41 eivät kuulu alkutekijöiden joukkoon, vaikka ovat alkulukuja.
Tässähän olisi pari hyvää lukujonokompaa. Kuinka jatkuu ja mitkä ovat yleiset ratkaisut suljetussa muodossa?
110. Juhani Heino4.8.2009 klo 16:08
Juuri noin. Neliönjäännöslause kertoo vain alkutekijöiden ominaisuuksista. Tekijöistä päätellään sitten niiden perusteella - tässä tapauksessa niin että miten tahansa -1 ja 1 kerrotaankaan keskenään, kyseisessä modulojärjestelmässä tulos on aina -1 tai 1.OK:n mainitsemat jaolliset luvut eivät voi olla edes tekijöitä, koska niiden alkutekijöissä on aina jokin sopimaton luku.
Alkuluvuista taas voi joskus päätellä erikseen, kuten OK teki 11:n ja 41:n kanssa. 11:n näkee suoraan, mutta heti en löydä keinoa jolla 41:n voi sulkea pois. Eli siinä mulle seuraava pähkinä.
111. Juhani Heino4.8.2009 klo 19:50
41-tapaus ratkesi vanhan tutun jaollisuussäännön perusteella. 41:llä jaollisuuttahan voi tutkia niin että nipsaisee luvun viimeisen numeron pois ja vähentää tuon viimeisen numeron 4:llä kerrottuna. Löysin 5:n pituisen jakson silloin kun edetään 9-jonossa. Sivutuotteena siitä huomasin että 99999 on 41:llä jaollinen. Ja näin saatiin tulos jonka ehkä ymmärtää helpommin:Jos ja vain jos luku on 41:llä jaollinen, myös sama luku, jonka perään on lisätty 99999, on. Nyt riittää että tarkastetaan tilanteet 1, 19, 199, 1999 ja 19999. Kaikki myöhemmät ovat saman toistoa.
112. Olavi Kivalo5.8.2009 klo 00:35
Todetaan vielä, että paitsi 41, myöskään alkuluvut kuten 73, 79, 101, 103, 137, 139 eivät kuuulu joukkoon, vaikka ovat vaadittua muotoa. Lukujen 2*10^n-1 jaottomuus näillä voidaan todistaa Juhani Heinon menetelmällä, joka perustuu siihen, että kullekin näistä alkuluvuista löytyy luku 9999999....., joka on jollakin näistä jaollinen. Esim. 99999999 on jaollinen luvuilla 73, 101 ja 137.Sensijaan en ole löytänyt todistusta lukujen 2*10^n-1 jaottomuudesta alkuluvuilla kuten 89, 113, 131, 151, 179, 181, 191, 199, jotka myös ovat vaadittua muotoa, mutta eivät kuulu joukkoon.
113. Olavi Kivalo5.8.2009 klo 10:50
Korjaillaan sanottua taas vähän. Alkuluvut 131 ja 181 kuuluvat kuin kuuluvatkin joukkoon eli ovat luvun 2*10^47-1 eli luvun 199999999999999999999999999999999999999999999999 alkutekijöitä.
Samoin 151 on luvun 2*10^40-1 alkutekijä ja 191 on luvun 2*10^44-1 alkutekijä ja kuuluvat siis joukkoon.
199 tuli listalle mukaan vahingossa.
Kuuluvatko 89, 113, 179 (ja moni muu suurempi alkuluku, joka on vaaadittua muotoa) joukkoon, jää tällä erää avoimeksi.
Pahoittelen aiheuttamaani sekaannusta.
114. Juhani Heino5.8.2009 klo 18:36
89 on 199999999:n alkutekijä. Löysin sen kun kehittelin taas jaollisuustarkastuksen avulla - nyt kerrottiin viimeinen numero 9:llä ja lisättiin se eli toistin kaavaa:n=(9*n + 9) mod 89
Jaksoa ei vielä ehtinyt syntyä, mutta 8:nneksi luvuksi tuli 8. Sehän tarkoittaa että jos siinä kohtaa onkin 1 eikä 9, tulos on 0 eli silloin luku on 89:llä jaollinen.
Niinpä tarkistin 199999999:n ja se täsmäsi.
Jos olen laskenut oikein (tietokoneella), 113 on luvun 2*10^60-1 eli
19999999999999999999999999999999999999999999999999 99999999999
alkutekijä. Nyt piti "kiertää tahkoa" paljon pidempään eli vasta 60:s luku oli 8.
Kaavahan oli:
n=(34*n + 9) mod 113
koska 113 on 339:n tekijä.
Matikkaohjelmani ei enää pystynyt jakamaan noin isoa tekijöihin, ja jakolaskustakin tuli vain likiarvo, mutta mod-operaatio näytti toimivan ja antoi tästä 0.
179 olisi tulosteni mukaan luvun 2*10^105-1 alkutekijä. Nyt olin taas hiukan kehittänyt kaavaa:
n=(18*n + 9) mod 179; a=a+1; print(a,n)
eli nyt en enää vaivautunut tutkimaan jaksoa, toistin vain kunnes sain 8.
115. Juhani Heino5.8.2009 klo 19:02
199 jäi vielä vaivaamaan mieltä - sehän on jonon kolmas luku jo itsessään, mutta aloin pohtia onko se enää minkään suuremman luvun tekijä. Ajoin saman kaavan sille ja löysin että 2*10^101-1 on taas sillä jaollinen.
116. Olavi Kivalo5.8.2009 klo 23:52
89 on sekä muotoa 10k+-1 että muotoa 8k+-1. Se on alkutekijä luvulle 2*10^(2k)-1 (siis kun k=4), mutta ei näyttäisi olevan alkutekijä luvulle 2*10^(2k-1)-1.Todellakin 113 on luvun 2*10^60-1 alkutekijä ja 179 on luvun 2*10^105-1 alkutekijä.
Millä n:n arvoilla luku 2*10^n-1 on alkuluku? Vastaus: kun n=1, 2, 3, 5, 7, 26, 27, 53, ... Kuinka jatkuu?
Joka löytää tälle lukujonolle yleisen ratkaisun suljetussa muodossa, on kova jätkä.
117. Juhani Heino6.8.2009 klo 16:08
Jep, se olisi melkein yhtä kova saavutus kuin yleisen kaavan keksiminen alkuluvuille. Sitäkään ei kukaan tiettävästi ole vielä tehnyt.Ei muuten ole ollut tarkoitus jyrätä Antin kyssäriä - otan sen uudestaan näkyville:
2, 22, 75, 168, 255, -72, ?
En ole keksinyt siihen mitään fiksua, joten en viitsi myöskään laittaa mitään tylsän mekaanista käyränsovitusta. Lupaavimmalta vaikutti (-3)^n ja siihen sopivia termejä lisää, mutta ei toiminut.
118. Antti6.8.2009 klo 17:25
(-3)^n ei toimi lausekkeen osana, koska ei ole aivan oikea, vaikka jotakin oikeaan viittaavaa sisältääkin.
119. Taata6.8.2009 klo 17:53
MatematiikkaMatematiikka on luovaa ajattelua ja matematiikassa on omintakeisia merkintöjä
• Matematiikkaa opetetaan jo peruskoulun ensimmäisestä luokasta alkaen. Pitäisihän jokaisen tietää, mitä matematiikka on. Tämä ei liene sittenkään itsestään selvää!
• Kysyttäessä kadunkulkijalta hän vastaa matematiikan olevan laskentoa, jota höystetään erilaisilla kaavoilla yhtälön ratkaisemisesta, kappaleiden tilavuuksista, derivoinnista ja muusta sellaisesta, mitä hän ei ole koulun jälkeen tarvinnut.
• Mitä matematiikka sitten on muuta kuin koululaskento kaavoineen? Annetaanpa Ylioppilastutkintolautakunnan emeritus puheenjohtajan matematiikan professori Aatos Lahtisen vastata.
Mitä matematiikka on?
"Matematiikka on itse asiassa valtava katedraali, ikivanha, alati kasvava kaunis rakennus holveineen, torneineen, sivulaivoineen ja salakäytävineen, jotka yhdistävät käsittämättömällä tavalla matematiikkaa muihin tieteisiin ja teknologiaan. Rakennuksen koolla ei ole ylärajaa, ei myöskään rakennuskustannuksilla, rakennuslupaa ei tarvitse anoa, ei huolehtia rakennustarvikkeista. Tämä mittava rakennustyö kestää paljon kauemmin kuin Iisakin kirkon pystyttäminen. Matematiikan katedraalia onkin kohotettu taivasta kohti jo kolmisentuhatta vuotta ja olemme ilmeisesti vasta työn alussa. Koulussa opetetaan vain katedraalin rakennuskivien louhintaa. Katedraalin rakentajat, matemaatikot, ovat luovan työn tekijöitä, joilla on unelma. Unelmansa he haluavat toteuttaa lisäämällä katedraaliin oman luomuksensa. Rakentaminen perustuu tarkkoihin lujuuslaskelmiin. Kivien on liityttävä toisiinsa niin lujasti, että uusia holveja voidaan käyttää seuraavan, sitä seuraavan ja taas sitä seuraavan kerroksen pohjana. Unelmat eivät aina toteudu, työ jää torsoksi tai jopa sortuu. Mutta näin tapahtuu kaikessa luovassa työssä."
Jos matematiikka on niin mahtava rakennus, niin miksi ihmiset eivät sitten huomaa sen suuruutta ja kauneutta?
"Miksi he kuvittelevat, että matematiikka on vain kivilouhos? Syynä on, että tämä valtava luomus on täysin abstrakti, aineeton ja näkymätön. Siitä ei voi ottaa valokuvia, se ei näy tutkassa, ei läpivalaisussa. Niinpä kaikki mitä ihmiset ovat rakennuksesta havainneet, on se kivenlouhintaoppi, mitä he ovat koulussa saaneet."
120. Taata6.8.2009 klo 17:56
Miten me Normaalikoululla välitämme tätä näkymätöntä suuruutta ja kauneutta opiskelijoillemme?• On nostettava esille matematiikan käsittämätön, lähes mystinen hyödyllisyys ihmisen toiminnoissa. Nyt ei puhuta kauppalaskuista, eikä liikennelaskennasta, vaan luonnonlaeista, koneista, laitteista, tietokoneohjelmista, sään ennustamisesta ja muusta sellaisesta. Professori Lahtisen muotoilemaa ajatusta matematiikan katedraalista voisi joku vähätellen sanoa monitoimitaloksi tai teollisuuskyläksi. Mutta ...
Matematiikka on paitsi tieteen kieli, myös nykyisen teknillisen yhteiskunnan luoja, pystyssä pitäjä ja kehittäjä. Havainnollistajan ongelmaksi tulee taas, että valmiissa koneissa ja laitteissa ei matematiikka näy. Sitä ei voi osoittaa sormella, on tyydyttävä selittämiseen ja vertauskuvien esittämiseen.
• Toinen mahdollisuus on yrittää kuvailla itse katedraalia. Ongelmana on edelleen miten kuvata näkymätöntä. Yleiskuvaa voi antaa erilaisilla vertauksilla konkreettisiin asioihin, mutta vertaukset ovat vain vertauksia. Todemman kuvan saamiseksi on lähdettävä kuvaamaan itse rakennusta tai ainakin sen rakennuspiirustuksia ja dokumentteja. Vaikeutena on nyt, että niitä ei ole kirjoitettu suomeksi vaan matematiikaksi ja matematiikan suomentaminen on paljon vaikeampi työ kuin vaikkapa japaniksi kirjoitetun tankan suomentaminen.
MUISTA Sinun ei tarvitse olla matematiikan katedraalin rakentaja – ehkäpä jopa mieluummin syvällisesti yleissivistynyt kulttuuripersoona – jotta voit jatkaa perehtymistä matematiikan katedraalin monimuotoisiin ilmentymiin. Siispä vaadi opettajaasi ohjaamaan juuri sinut matematiikan kauneuden ja hyödyllisyyden verkkoon.
Vaihtoehtoja on kaksi – Lyhyt matematiikka ja Pitkä matematiikka.
Oppimäärien ero on painotuksissa: Lyhyt matematiikka ponnistaa hyödyllisten sovellusten kautta kohti matematiikan rakenteita. Pitkä matematiikka konstruoi rakenteita, joilla on lukuisia hyödyllisiä sovelluksia.
"Hyvään matematiikan taitoon keskeisenä kuuluvan matemaattisen ajattelutaidon oppiminen on hidas, paljon aikaa ja vaivaa vaativa prosessi. Ajattelemaan voi oppia ainoastaan ajattelua harjoittelemalla, ei vain pintapuolisesti kirjasta lukemalla." Matematiikan professori emeritus Seppo Hyyrö
121. Jukkis6.8.2009 klo 18:10
Eikö olisi ollut hiukka kätevämpää laittaa vaan osoite, josta tuo on suoraan leikepöydän kautta kopsattu?
122. Taata6.8.2009 klo 18:19
Anteeksi nyt Jukkis, mutta kun tuo professori Seppo Hyyrö oli entinen opettajani ja innostuin niin asiasta. Vähän oli tarkoitus kansanomaistaa tätä säiettä, jotta satunnaiset surffaajatkin tietäisivät jotain asiasta, mutta luovun nyt sitten enemmästä lainailusta ja kirjoittamisesta. En ehtinyt vielä päästä lukujonoihin laisinkaan.
123. Juhani Heino6.8.2009 klo 18:32
Laita ihmeessä lisää vastaavia juttuja jos löydät, mutta kuten Jukkis ehdotti, pelkkä linkki on paras jos sellainen löytyy.Nyt näyttää siltä että Antin jono olisi ratkeamassa. Pitää puurtaa kaava vielä valmiiksi.
124. Juhani Heino6.8.2009 klo 18:57
Harjoituksen vuoksi tein kertoman lisättyäni differenssiyhtälönkin, mutta näin sitten helpomman muodon.3*n^3 - n!
ja seuraava on f(7) = -4011
125. Antti6.8.2009 klo 19:25
Toov me´od, hyvä kovin.
126. Juhani Heino6.8.2009 klo 21:43
Laitanpa "korvaukseksi" uuden jonon. Varokaa jujua.11, 100, 22, 100, 112, 144, 242, 400, 628, 1024...
127. Juhani Heino9.8.2009 klo 19:56
Laitan toisen vinkin - sama idea mutta eri luku pohjana.111, 1001, 1000, 1101, 1433, 3213, 6243, 14641, 30000, 59049...
128. Jaska9.8.2009 klo 22:28
Näyttäis olevan paritatin "singulääri", binääri, ternääri jne -järjestelmillä kahden ja kolmen potenssit 1-10. Kymmenjärjestelmällä seuraavat luvut olisivat siis 2048 ja 147047. Kuku on kai se, että ne pitää pukea 11-järjestelmän muotoon. En nyt ilman kynää ja paperia viitsi sitä alkaa pähkäillä.
129. Jaska9.8.2009 klo 22:29
Siis juju.
130. Jaska9.8.2009 klo 22:41
Lievää pahempi flunssa päällä, ei suju aatos. Siis lukujen 2 ja 3 1-n potenssit parittain potenssin osoittamalla lukujärjestelmällä.
131. Jaska9.8.2009 klo 23:08
Kirottua, po. 147147.
132. Jaska9.8.2009 klo 23:29
Ei voi olla totta. Totta on siis 177147. Nyt täytyy vaan yrittää parantua.
133. Jaska10.8.2009 klo 11:54
Nyt tuntuisi pää vähän klaariutuneen. Sain jonojen jatkoiksi 11-järjestelmän luvut 15X2 ja 111103.
134. Juhani Heino10.8.2009 klo 11:55
Kyllä vain,2048 (15a2)
177147 (111103)
Laitoin 11-järjestelmän luvut itse koska juju ei ollut siinä vaan yleensä eri lukujärjestelmien hoksaamisessa.
Kun Juha Hyvönen näytti mulle ekan kerran 1-järjestelmän, jota Jaska kutsuu singulääriksi, olin ihan H.Moilasena mutta noudattaahan se lukujärjestelmien yleistä määrittelyä. Jokainen lisättävä numero vain on 1:n potenssi eli ei kasva paikan mukaan kuten muissa. Se on siis yksinkertaistettu tukkimiehen kirjanpito - vedetään uusi viiva kun luku kasvaa. Turingin koneessakin on perinteisesti käytetty 1-järjestelmää.
135. Juhani Heino11.8.2009 klo 21:10
1, 4, 9, 10, 11, 16, 17, 18, 20, 22, 24...Tässä ei ole kikkailtu lukujärjestelmillä, mutta muuten voi olla kinkkinen. Löysin kyllä näille luvuille nimenkin.
136. Olavi Kivalo13.8.2009 klo 10:33
Kun en keksi, miltä alueelta Juhani Heinon lukujonoa pitäisi lähteä avaamaan, laitan oman, joka myös voi olla kinkkinen:1, 6, 7, 12, 15, 20, 34, 35, 39, 43, ...
Sille on myös on löydettävissä nimi, joka voisi olla analoginen Aronsonin sekvenssille.
137. Juhani Heino13.8.2009 klo 19:49
Arvelinkin visaiseksi, joten laitan vinkkiä lukujen muodostumisesta.4 = 2+2
9 = 3+3+3
10 = 2+4+4
138. Jaska13.8.2009 klo 19:57
Aivan pihalla jostain Aronsonista. Liian vaikeita ovat siis Olavi Kivalonkin analogiat. En kosta pahaa pahalla. Seuraava on näet tavattoman helppo:1, 4, 9, 12, 17, 20, 30, 34, 37, 43, ...
139. Olavi Kivalo15.8.2009 klo 09:16
Aronsonin sekvenssi on yksi niistä kummallisuuksista, joita saadaan aikaan itsereferenssillä. Alkuperäinen Aronson's sequence määritellään seuraavasti:
"t is the first, fourth, eleventh, ... letter of this sentence." Analogisia sekvenssejä saadaan aikaan mm. käyttämällä muuta kieltä, kuten suomea.
140. Juhani Heino15.8.2009 klo 22:01
Ehkä Olavi Kivalo ei tarkoittanut aivan tätä lausetta:"S on tässä hauskasti ensimmäinen, kuudes, seitsemäs, kahdestoista jne. kirjain."
Lause ei tule ikinä valmiiksi, koska järjestysluvuista tulee aina vain uusia S-kirjaimia. Niinpä tulkinnanvaraisten "alkusanojen" osuus supistuu olemattomiin.
141. Jaska15.8.2009 klo 23:03
Ehkä ei tarkoittanut, mutta onhan Juhani Heinon ratkaisu myös oikea. Jono jatkuu siis 49:llä.
142. Olavi Kivalo16.8.2009 klo 01:04
No enpä tietenkään tarkoittanut, vaan alkuperäistä mukaillen lausetta "S on tässä lauseessa ensimmäinen, kuudes jne kirjain". Mutta antamastani lukujonosta puuttui 16. Näin ollen tarkoittamani lause on väärä ja Juhani Heinon oikea tai yksi oikeista. Mikseipä lause "S on hassu eli siis on ensimmäinen, kuudes jne kirjain tässä lauseessa" olisi myös oikein.
Kussakin tapauksessa jono jatkuu 49:llä.
143. Olavi Kivalo16.8.2009 klo 10:08
Yllä olevan generoivan lauseen viimeiset sanat ovat "kirjain tässä lauseessa". Kuinka monensia ovat siinä esiintyvät ässät? Onko viimeisen ässän järjestysluku lukujonon viimeinen luku?
144. Olavi Kivalo16.8.2009 klo 12:43
Ja ovatko edellisen lauseen ja Juhani Heinon ehdottaman lauseen generoimat lukujonot identtiset?Mitä tulee Juhani Heinon aiempaan lukujonoon 1, 4, 9, 10, 11, 16, 17, 18, 20, 22, 24..., ehdotan ensihätään, että jatko on parillisten osalta 30, 38, 40, ... Parittomien kohdalla on vaihtehtoja kuten 27, 33, 37, ... Tarkennan kun ehdin.
145. Juhani Heino16.8.2009 klo 17:58
Vähän arvelinkin että "tässä lauseessa" oli alkuperäinen ja yksi S oli vain unohtunut.Olavi Kivalon kysymykset taitavat mennä jo filosofian puolelle. Viimeisiin ässiin ei ikinä päästä eli niillä ei ole järjestyslukua. Samalla perusteella väitän, että näiden eri lauseiden lukujonotkin ovat identtiset, vaikka potentiaalisesti ne loppuvatkin eri tavoin.
Olavi Kivalon ratkaisuehdotukset taas eivät toimi omaan jonooni, mutta olen kiinnostunut lukemaan perustelut - jospa taas löytyy jokin jännä yhteys. Annan taas muutaman lisävinkin.
11 = 2+3+6
16 = 4+4+4+4
17 = 3+4+4+6
146. Jaska16.8.2009 klo 18:16
Aika hämärältä näyttää vieläkin. Ilmeisesti jonoon kuuluvat kaikki neliöt, jolloin seuraava luku olisi 25. Siis luvuissa 17, 18, 20, 22 ja 24 olisi kussakin neljä yhteenlaskettavaa ja 25:stä lähtien viisi jne.
147. Juhani Heino16.8.2009 klo 18:26
Jaska on aivan oikeassa - seuraava on 25 ja kaikki neliöt kuuluvat jonoon. Mutta miten jono jatkuu? Siihenkin on yksikäsitteinen vastaus.Myös se pitää paikkansa että 17, 18, 20, 22 ja 24 koostuvat neljästä, mutta lisäksi ainakin 31 ja 54 voidaan muodostaa neljästä.
148. Jaska17.8.2009 klo 20:20
Oisko sitten idea seuraava, ainakin pätee noihin Juhani Heinon antamiin summiin. Kaikkien yhteenlaskettavien (n kpl) tulo = kaikkien n-1 kpl kombinaatioiden tulojen summa. Jonoon kuulumattomilla luvuilla tämä ehto ei toteudu. En kuitenkaan yritä testata tätä jatkamalla jonoa pelkästään kokeilemalla. Kai siihen joku simppeli menetelmäkin on tarjolla?
149. Juhani Heino17.8.2009 klo 20:26
Jaska tarkoittaa ilmeisesti että esim. luvussa 11:2*3*6 = 2*3 + 2*6 + 3*6
Kyllä tuo pitää paikkansa, mutta sen voi muuntaa vielä helpommin ymmärrettäväksi. Tämä siis kuitenkin tarkoittaa että Jaska ratkaisi jutun, nyt hiotaan enää menetelmää.
150. ++juh18.8.2009 klo 00:09
Tämä lienee Juhanin hakema ymmärrettävämpi muoto.1
= 1/1
= 1/2 + 1/2
= 1/3 + 1/3 + 1/3
= 1/2 + 1/4 + 1/4
= 1/2 + 1/3 + 1/6
= 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4
= 1/3 + 1/4 + 1/4 + 1/6
= ...
151. Juhani Heino18.8.2009 klo 06:50
Täsmälleen. Näitä sanotaan egyptiläisiksi luvuiksi, koska jostain syystä egyptiläiset merkitsivät murtolukunsa kokonaislukujen käänteislukujen summina. Poikkeuksena oli 2/3 jolla oli oma merkki.Sähköteknisesti ajateltuna nämä ovat sellaisten vastusten yhteenlaskettuja ohmimääriä, joista rinnakkain kytkettyinä tulee 1 Ω.
Nyt sitten enää jonon jatko, siinäkin on (mielestäni) kiva pohdiskelu.
152. Antti18.8.2009 klo 07:16
Kivan pohdiskelun lomassa mahdollisesti mietittäväksi tarjoan seuraavaa:1, 4, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 25, 27, ?
153. Juhani Heino18.8.2009 klo 07:36
Sori jos satun pilaamaan arvoituksen, mutta olisivatko nuo sileitä lukuja (smooth numbers)? Niiden kaikki alkutekijät ovat pienempiä tai yhtä suuria kuin neliöjuuri. Silloin seuraava olisi 30 (2*3*5) koska 28 on 2*2*7 ja 29 on alkuluku.
154. Jaska19.8.2009 klo 23:31
Ei näy Antin kommenttia eikä Juhani Heinon jonon jatkoa. Sitähän voi kehitellä esim. jakolaskun avulla jo valmiista luvuista. Seuraava luku 26 saadaan 20:sta: 1/2 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1 -> 1/4 + 1/4 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1. Kivampaa olisi kyllä pohtia kahta jonoa, toisessa kaikki ehdon täyttävät luvut jantoisessa useammalla kuin yhdellä tavalla kombinoitavat yhteenlaskettavat. Esim. 22 voidaan kombinoida kahdella tavalla. Taitaa kone olla niiden(kin) haussa nopeampi kuin käsipeli?
155. Antti20.8.2009 klo 06:23
Jaskan odottamana vastauksenani kerron Juhanin ratkaisseen oikein arvoitukseni.
156. Antti20.8.2009 klo 06:46
Vielä uutta mietittävää:6, 12, 18, 20, 24, 28, 30, 36, ?
157. Jukkis20.8.2009 klo 16:30
Jos vaikka tähän väliin huomautan, että on hiukka ärsyttävää kun asia jää sillä lailla kesken kuin jäi mastosta tippuvan pultin tapaus. Viimeinen kirjoitus siitä on 25.7.2009 klo 11:03.Ja Mattikin voisi sanoa jotain golfpallojutustaan 26.7.2009 klo 17:06, kun siinä perässä on heti kaksi kommenttia asiasta.
158. Juhani Heino20.8.2009 klo 17:33
Jaskan periaatteella tosiaan voidaan kehittää suurempia lukuja aiemmista. Mutta muitakin keinoja on niin monia, että tietokoneelle voisi olla hankala ohjelmoida ne kaikki. Ehkä tietokoneella kannattaisikin vain käydä läpi mahdollisia termejä järjestelmällisesti.Esim. kun otetaan 7 lähtökohdaksi, saadaan tällaiset:
1/3 = 3/21 + 3/21 + 1/21
eli yhdeksi kelpaavaksi summaksi tulee 3+3+7+7+21 = 41
1/2 = 2/14 + 2/14 + 2/14 + 1/14
eli yhdeksi kelpaavaksi summaksi tulee 2+7+7+7+14 = 37
Siis jo ennen 7:n neliötä 49.
Kerron jo jonon jatkon: luvusta 24 alkaen kaikki luvut ovat egyptiläisiä lukuja. Sen voi todistaa, jätän sen ainakin toistaiseksi lukijoiden harjoitukseksi. Jaskan periaate on sen lähtökohtana.
159. Olavi Kivalo21.8.2009 klo 00:03
Lukujonossa 1, 4, 9, 10, 11, 16, 17, 18, 20, 22, 24... ykkönen ei liene egyptiläinen? (Lisäksi 11 ja 24 ovat ainoat tosiegyptiläiset.)Päätin etsiä lukujonolle jatkoa vain annetun datan pohjalta tukeutumatta annettuihin vihjeisiin, koska parilliset ja parittomat näyttivät noudattavan kumpikin kiinnostavaa jaksollisuutta. Annetun datan pohjalta orastava jaksollisuus tietenkin sortuu luvun 25 jälkeen, jos jono julistetaan egyptiläiseksi.
160. Juhani Heino21.8.2009 klo 09:07
Ykkönen on egyptiläinen sillä perusteella jonka ++juh esitti: se on 1/1.Se on mukana myös "virallisessa" jonossa A125726.
Olavi Kivalon tosiegyptiläisiä lukuja kutsutaan englanniksi "strictly Egyptian" tai "strict-sense Egyptian", niissä siis ei voi olla samaa yhteenlaskettavaa useaan kertaan. Tämä vastaa egyptiläisten murtolukujärjestelmää jossa ei saanut olla sellaista toistoa. Esim. 2/5 ei saanut olla 1/5+1/5 vaan 1/3+1/15.
Jono A051882 antaa ne positiiviset kokonaisluvut jotka EIVÄT ole tosiegyptiläisiä.
Samalla saivartelen itselleni että luvusta 24 alkaen kaikki KOKONAISluvut ovat egyptiläisiä. Tosiegyptiläisissä sama alkaa luvusta 78. Sitä en ole itse todistanut, voisin joskus yrittää mutta saattaa mennä yli kykyjeni.
Selitän hieman omaa golfpallojuttuani kaiken varalta, kun keskustelu jäi kesken. Usein selventää kun vaihdetaan näkökulmaa. Tässä tapauksessa liikutetaan koko systeemiä. Jos mailan nopeus ennen iskua on x ja iskun jälkeen y, systeemin nopeus on niiden keskiarvo. Tästä näkökulmasta maila kimpoaa takaisin samalla nopeudella kuin tulikin. Sama tapahtuu pallolle - se lähestyy keskiarvonopeudella (x+y)/2 ja kimpoaa samalla nopeudella systeemin suuntaan. Kun tulos siirretään takaisin normaaliympäristöön, pallon nopeus on x+y.
Jos pallon massa on häviävän pieni, maila ei hidastu lainkaan ja pallon nopeus on 2x.
Jos maila pysähtyy, pallon nopeus on x. Tämä vastaa biljardipalloefektiä: pallo töytää samanpainoisen pallon liikkeelle ja pysähtyy itse.
Ja mainitsemassani jäynätilanteessa pallon nopeus on 0, mailan uusi nopeus y on -x eli sama vastakkaiseen suuntaan.
161. Matti21.8.2009 klo 12:32
Jukkis, 26.7.2009 klo 17:59 ratkaisit itse golfpallojutun juuri ajattelemallani tavalla, siis olettamalla että impulssi ja liike-energia säilyvät. Liike-energia ei aivan säily, koska osuma ei ole täysin kimmoisa, ja siitä saadaan epäyhtälö, pallon lähtönopeus on aina pienempi, kuin ... Juhani Heino päätyi samaan vähä erilaisella päättelyllä.Masto- ja pulttijuttua en innostunut enää laskemaan numeerisesti eri kimpoamiskulmilla ja -nopeuksilla.
162. Juhani Heino21.8.2009 klo 17:05
Taisin löytää Antin jonolle ratkaisun ilman omaa oivallusta, kokeillessani yhtä työkalua, joten jäävään itseni siitä. En usko että olisin keksinyt, jos ratkaisu tosiaan on yksi niistä jotka löysin.
163. Antti21.8.2009 klo 18:00
Virkistävää kohdata ihmisiä, jotka eivät pyydä turhaa kunniaa.
164. Olavi Kivalo21.8.2009 klo 18:47
Seuraavassa eräs egyptiläisten lukujen nostattama spin-off. Kuinka jatkuu 4, 10, 16, 18, 20, 22, 24, 30, 36, 42, 48, ... ja kuinka lausutaan lukujonon yleinen termi?
165. Olavi Kivalo21.8.2009 klo 20:10
Kaivetaan nyt vielä tuo pulttijuitsu, jota menin modifioimaan. Tarkoitushan oli hakea ratkaisua hieman realistisempaan tapaukseen eli sellaiseen, jossa pultilla on mahdollisuus useampaan kuin yhteen ponnahduskulmaan ja silti päätyä samalle etäisyydelle mastosta. Ja Jukkis antoi hienosti molemmat ratkaisut tapaukseen, jossa toinen ponnahduskulmista on 0. Asia tuli sillä riiittävän loppuun käsitellyksi. Kuitenkin mitä tulee ponnahduskulmasta käyttämieni sanallisten ilmaisujen mahdolliseen ristiriitaisuuteen, ehdotan, että se laitetaan vaikka luonnollisen kielen epämääräisyyden tai kielen kömpelön käytön tai ehkä jonkun muun seikan piikkiin. Joten kerran vielä pojat. Kun pultti ponnahtaa alaspäin, sen ponnahduskulma on pienempi kuin 0. Mielestäni kullekin maston korkeudelle, paitsi huipulle ja juurelle, saadaan kaksi ratkaisua, joissa toinen ponnahduskulma on suurempi kuin 0 (vinosti ylöspäin) ja toinen pienempi tai yhtä suuri kuin 0 (vinosti alaspäin tai vaakasuoraan). Pultti voi ponnahtaa tietystä kohdasta vain vinosti ylöspäin ja joko vaakasuoraan TAI vinosti alaspäin ja päätyä samalle etäisyydelle mastosta. Se voi ponnahtaa vinosti ylöspäin, vaakasuoraan JA vinosti alspäin ja päätyä samalle etäisyydelle mastosta vain, jos ponnahduskohta määritellään sumeana. Siis epämääräisenä epämääräisin ilmaisuin.
166. Olavi Kivalo22.8.2009 klo 10:44
Antin lukujonolle 6, 12, 18, 20, 24, 28, 30, 36, ... on useitakin jatkoja. Yksi saadaan hyväksymällä jonoon kaikki luvut 3*2k ja lisäksi kaikki ne 4*(2k-1), jotka toteuttavat ehdon 3*2k<4*(2k-1)<3*(2k+2), k=1,2,3,4... Tällöin jatko on luvusta a(7)=30 alkaen säännöllinen a(7+n)=a(7)+6n, n=1,2,3,4...
167. Jaska22.8.2009 klo 11:58
Muistaakseni seuraava ei ole ollut, sitä hieman sivuava kylläkin:1, 2, 3, 5, 7, 10, 12, 17, 18, 23, 25, 30, ?
168. Olavi Kivalo22.8.2009 klo 19:21
32
169. Jaska22.8.2009 klo 22:13
32 oikein. Jonossa siis alkulukuparien väliluvut/6.
170. Juhani Heino22.8.2009 klo 22:18
Jep, tuokin löytyi samalla työkalulla kuin Antin jono (kerron siitä myöhemmin) joten jouduin samalla tavalla jääväämään itseni. Mutta haluaako Jaska antaa jotain vinkkiä tästä?1, 4, 9, 12, 17, 20, 30, 34, 37, 43
171. Jaska22.8.2009 klo 23:11
Ahaa, joo, luulin jo Olavi Kivalon ratkaisseen, vaikkei jatkoa ilmoittanutkaan. Pyydän anteeksi, että narrasin Aronsonista!
172. Juhani Heino23.8.2009 klo 00:17
Jaaha, seuraavat ovat siis 46 ja 54 - A:n paikkoja Jaskan virkkeessä. Tosin se jono ilmeisesti päättyy toisin kuin useimmat tähänastisista.
173. Antti23.8.2009 klo 07:18
Olavi, mainitsit jono-ongelmani monesta ratkaisusta. Omassani 36:n seuraaja ei ole 42.
174. Juhani Heino23.8.2009 klo 09:21
Täsmää edelleen työkaluni löytämien kanssa, mutta tarkennetaan mikä on haussa. Erottavina lukuina ovat 45, 70, 105, 136 ja 175. Mitkä niistä kuuluvat Antin jonoon?
175. Antti23.8.2009 klo 09:47
Juhanin viimeksi mainitsemista mikään ei kuulu jonooni.
176. Juhani Heino23.8.2009 klo 09:58
Hienoa, silloin olen aika varma että haet jonoa joka on näistä yksinkertaisin selittää. On tietysti pieni mahdollisuus että haet aivan muuta, mutta pysyn edelleen jäävinä.
177. Olavi Kivalo23.8.2009 klo 10:10
Tästä on keskusteltu ennenkin: mitä niukempi lähtödata, sitä enemmän ratkaisuja.Algoritmi a(i,j) = (3+i)*(2j-i), jossa i=0,1,2,3,..., j=i+1,i+2,i+3,... ja (3+i)<(2j-i) antaa sallituiksi luvuiksi 6, 12, 18, 20, 24, 28, 30, 36, 40, 42, ...
Jatko on nyt luvusta a(9)=40 säännöllinen a(9+n)=a(9)+2n, n=1,2,3,...
178. Juhani Heino23.8.2009 klo 10:14
Tuo täsmää alkuehtojen kanssa, mutta siihen kuuluvat käsittääkseni 70 ja 136 jotka äsken todettiin epäkelvoiksi.
179. Olavi Kivalo23.8.2009 klo 10:39
Eiku. Jatko ei olekaan säännöllinen. Näyttää, että mm. luvut 46, 58, 62, 64, 74, 82, 86 ja 94 eivät ole sallittuja, joka on mielenkiintoista. 70 ja 136 ovat. Siis tässä ratkaisussa. Vaan ei ilmeisesti Antin. Lisäisitkö Antti lähtödataa yhdellä luvulla. Vaikka kyllä hakuammunnallakin voi löytää uusia kiinnostavia asioita.
180. Juhani Heino23.8.2009 klo 10:49
Uskaltaudun laittamaan jatkoa:6, 12, 18, 20, 24, 28, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 72, 78, 80...
Antti voi kertoa sitten täsmääkö.
181. Olavi Kivalo23.8.2009 klo 10:58
Joo nää on näitä. Kyllä täsmää. Toisaalta olin sen verran jyvällä, että antamani ei-sallitut kuuluvat ei-sallittujen joukkoon.
182. Olavi Kivalo23.8.2009 klo 11:07
Aiemmin antamani lukujono 4, 10, 16, 18, 20, 22, 24, 30, 36, 42, 48, ... ei löydy työkalupakeista. Sillä ei ole välttämättä mitään tekemistä egyptiläisten kanssa, mutta voidaan myös määritellä jonoksi, joka koostuu niistä parillisista egyptiläisistä luvuista, jotka luvusta 24 eteenpäin noudattavat alkuosaan kätkeytyvää jaksollisuutta. Kenkään ei tarvitse olla jäävi.
183. Juhani Heino23.8.2009 klo 11:37
Tässä hyvin keinotekoinen viritelmä joka kuitenkin toteuttaa annetut luvut.Aletaan luvusta 4, lisätään aina 6 kunnes tullaan lukuun joka on 4:llä jaollinen, siis 16. Lisätään aina 2 kunnes tullaan lukuun joka on puolitoistakertainen 16, siis 24. Lisätään aina 6 kunnes tullaan lukuun joka on 24:llä jaollinen, siis 48. Lisätään aina 2 kunnes tullaan lukuun joka on puolitoistakertainen 48, siis 72.
Eli jatkona parilliset luvut väliltä 48 - 72.
184. Olavi Kivalo23.8.2009 klo 11:58
Tämän tehtävän suola on oikeastaan lukujonon yleisen termin löytämisessä.
185. Antti23.8.2009 klo 13:31
6, 12, 18, 20, 24, 28, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 72, 78, 80... täsmää. Ehkä Juhani tai joku toinen voi kertoa jonon säännön.
186. Juhani Heino23.8.2009 klo 20:22
Luvut ovat ns. puolitäydellisiä. Niiden tekijöistä voidaan muodostaa summa joka on itse luku. Niinpä kaikki täydelliset luvut kuten 6 ja 28 kuuluvat näihin. Muina esimerkkeinä 12 = 1+2+3+6, 18 = 3+6+9, 20 = 1+4+5+10Luku itse ei tässä kuulu tekijöihin, muutenhan kaikki luvut kelpaisivat. Ja tekijät voidaan mainita vain kerran, siksi ei voi ottaa 4 = 2+2 tai 16 = 8+4+2+2. Formaalisti sanottuna tekijöiden joukko on {a∈ℤ₊: a|n ∧ a<n} ja summa on tämän osajoukko.
187. Juhani Heino23.8.2009 klo 20:27
Äh, olipa löysää kielenkäyttöä. Siis summa on mainitun joukon jonkin osajoukon alkioiden summa.
188. Juhani Heino23.8.2009 klo 21:17
Ai niin, lupasin kertoa työkalupakistani. Googlatkaa OEIS ja menkää listan ensimmäiselle sivustolle. Sieltä voi hakea lukujonoja joilla on katsottu olevan yleisempää merkitystä. Hakuohjeissa suositeltiin että annetaan noin kuusi termiä ja alun ykköset tai nollat kannattaa jättää pois.
189. Jaska23.8.2009 klo 22:12
Seuraavakin löytynee jostain listasta, ei välttämättä Juhani Heinon työkalupakista:17, 41, 197, 241, 983, 1747, 2707, 3067, 3847, ?
190. Jaska23.8.2009 klo 22:14
Sori, eka jäi pois, alkaa siis5, 17, 41 jne
191. Olavi Kivalo23.8.2009 klo 23:58
Lisätään lähtödataa:4, 10, 16, 18, 20, 22, 24, 30, 36, 42, 48, 50, 52, 54, 56, 62, ...
192. Juhani Heino24.8.2009 klo 11:00
Olavi Kivalo, täsmääkö tämä: f(n) = 4n + dd noudattaa jaksoa: 0, 2, 4, 2, 0, -2, -4, -2, 0...
Jos täsmää, sitten voisi kehittää d:llekin oikean kaavan.
193. Olavi Kivalo24.8.2009 klo 11:26
Joo kyllä. Nyt sitten sopiva jaksollinen funktio.
194. Antti24.8.2009 klo 11:59
Jaskan jonossa on vain alkulukuja, ei mitenkään tasaisesti kasvavassa järjestyksessä. Sääntöä en toistaiseksi ole keksinyt.
195. Matti24.8.2009 klo 12:33
Tässä jaksollinen funktio Olavi Kivalolle:4*sign(sin(n*pi/4))*sin^2(n*pi/4), n=0,1,2, ...
Meniköhän oikein?
196. Jaska24.8.2009 klo 12:39
Voihan pakana, jononi onkin virheellinen. Ilmankos Antti ei kekannut sääntöä. Pieni (tai keskipitkä) hetki, korjaan sen.
197. Jaska24.8.2009 klo 12:55
5, 41, 197, 281, 2741, 6317...Jono harveni kovasti...
198. Antti24.8.2009 klo 14:35
Onko 22811 kaukana seuraavasta luvusta?
199. jaska24.8.2009 klo 17:05
Mahtaako enää riittää anteeksipyyntökään, no selitystä kyllä piisaa. Päivällä oli kiire kauppaan, ja virhettä tietysti pukkasi laskennassa vieläkin. Nyt tarkastettu ja jopa todennäköisesti oikea jonon alku. Ainakin neljä ekaa lukua, joista jo idean pitäisi selvitä, absoluuttisen varmasti oikein:5, 17, 41, 197, 281, 5693, 6311, ? (on pienempi kuin 22811).
200. Jaska24.8.2009 klo 17:06
Viis ekaa varmasti oikein.
201. Olavi Kivalo24.8.2009 klo 17:21
Jos viisi ekaa on oikein, niin jäävään itseni, etten olisi pekkaa pahempi.
202. Olavi Kivalo24.8.2009 klo 17:49
Jos Matin funktiota, joka on yksi mahdollinen ja tietysti oikein, merkitään d:llä, niin Juhani Heinon kaava tulee muotoon f(n) = 4(n+1) + d, kun n=0,1,2,3,... Matematiikassa esteettiset arvot ovat tärkeitä. Seuraava kysymys olisikin, mikä sopivista jaksollisista funktioista on elegantein. Jos tämä päättymätön lukujono esitetään matriisina f(i,j), (i=0,1,2,3,4,... ja j=1,2,3,4), sitä voi lukea rivi riviltä kuten runoa (tunnelmoiden ja jaksollisuuden poljennolla). Itse miellyin kaavaan f(i,j) = 4(4i+j) + 2*(5modj)*(-1)^i.
203. Antti24.8.2009 klo 18:30
Jaskan jonon viiden varman perusteella hain kuudetta lukua, mutta metsään menin melkoisesti: 4969.
204. Jukkis24.8.2009 klo 18:40
Vihoviimeinen pulttiviesti.OK:n jatkoprobleemi siis oli se, että milloin pultti voi kimmahtaa 200 m päähän. Näin:
Jos kimmahduskohta on korkeammalla kuin 266.7 m, pultti ei voi päätyä 200 m etäisyydelle, vaan putoaa lähemmäksi.
Jos kimmahduskohta on 266.7 m korkeudella, pultti voi päätyä 200 m päähän, jos kimmahduskulma on noin 18 astetta.
Jos kimmahduskohta on korkeudella 261.8 ... 266.7 m, niin on aina kaksi kimmahduskulmaa (molemmat >= 0), jotka vievät pultin 200 m päähän.
Jos kimmahduskohta on korkeudella 38.2 ... 261.8 m, niin on aina kaksi kimmahduskulmaa (toinen >= 0, toinen <= 0), jotka vievät pultin 200 m päähän.
Jos kimmahduskohta on korkeudella 0 ... 38.2 m, niin on aina kaksi kimmahduskulmaa (molemmat >= 0), jotka vievät pultin 200 m päähän.
205. Jaska24.8.2009 klo 20:13
Antti, et mennyt metsään, jos sait lukusi jonkin säännön perusteella. Se vain on eri kuin minun tarkoittamani, joka on ihan yksinkertainen. Mitään yleistä merkitystä sillä tuskin on, huvikseni noita räknäilin pöytälaskurilla. Sainpahan ihmetellä, että tuli noinkin hurja hyppy 281:sta 5693:een. 6311:ta seuraa puolestaan 15607, jos oikein laskin (ei ole enää googlen 1000 pienimmän alkuluvun listassa). Mistä siis on kyse?
206. Matti24.8.2009 klo 20:34
Jukkis, noinhan se on nyt kiinni pultattu.
207. Juhani Heino24.8.2009 klo 22:01
Ei Jaskalla varmaankaan ole jonona sellaiset alkuluvut jotka ovat myös kaikkien alkulukujen summia tiettyyn alkulukuun asti. Siinä olisi ekana 2, sitten Jaskan jonon ekat:5 = 2+3
17 = 2+3+5+7
41 = 2+3+5+7+11+13
197 = 2+3+5+7+11+13+17+19+23+29+31+37
281 = 2+3+5+7+11+13+17+19+23+29+31+37+41+43
Sitten lähtee taas eri teille.
208. Olavi Kivalo24.8.2009 klo 22:06
Nyt kun Jaska paljasti seuraavat luvut, päätin päästää itseni pannasta olla olematta pahempi kuin pekka. Alkulukujen jonon 5, 17, 41, 197, 281, ... luku a(n) on summa, joka saadaan, kun lasketaan yhteen ne k ensimmäistä alkulukua, joiden summa on alkuluku, k=2,3,4,5, ...Jatko on seuraava; 7699, 8893, 22039, 24133, 25237, ...
209. Jaska24.8.2009 klo 23:46
En siis onnistunut laskemaan (näpyttelemään alkulukujen listasta virheettömästi laskurilla) 281:sta ylöspäin. Yritän tsekata huomenna, missä meni vikaan. Mutta idea selvisi helposti sekoilustani huolimatta, kiitos kaikille vaivautuneille.
210. Juhani Heino24.8.2009 klo 23:57
Tässä taas kävi ilmi miksi OEIS:ssä on hyvä jättää alkutermejä pois - määrittelyissä on eroja. Itse olen tässä OEIS:n kannalla.Summa voidaan määritellä 0:sta alkaen, nollan alkuluvun summa 0 ei ole alkuluku joten ei kuulu jonoon. Yhden alkuluvun summa on 2, se on alkuluku eli on jonon eka.
Alkulukujen summat muuten löytyvät valmiina:
research.att.com/~njas/sequences/b007504.txt
211. Jaska25.8.2009 klo 13:54
Laskin kauan ja hartaasti sata ensimmäistä alkulukua yhteen. Lähdin näemmä eilen harhateille 1-38 = 2747 jälkeen. Nyt stemmaa OK:n ilmoittamien lukujen kanssa. Johtopäätös: keskittymättä ja tsekkaamatta näinkin vähäisessä yhteenlaskujen määrässä virheen mahdollisuus on suuri (mikä on suuri, no yli 50 prossaa ainakin on).Kertauksena yhdeksän ekaa summaa:
5, 17, 41, 197, 281, 7699, 8893, 22039, 24133.
Kyllä nyt kyrsii (no ei ihan oikeesti), etten ollut alunperin huolellinen ja läntännyt pohdittavaksenne jonoa, joka olisi arvattavasti ollut vähän (?) vaikeampi ratkoa:
2, 4, 6, 12, 14, 60, 64, 96, 100, ?
212. Antti25.8.2009 klo 14:38
Juhani Heinon työkalulla näkee, että seuraava on 102.n kuuluu jonoon jos n:n ensimmäisen alkuluvun summa on alkuluku.
Esimerkiksi
2+3=5 on alkuluku, tästä 2,
(2+3+5=10 ei ole alkuluku)
2+3+5+7=17 on alkuluku, tästä 4,
(2+3+5+7+11=28 ei ole alkuluku)
2+3+5+7+11+13=41 on alkuluku, tästä 6.
100:n ensimmäisen alkuluvun summa on alkuluku.
101:n ensimmäisen alkuluvun summa ei ole alkuluku,
mutta 102:n ensimmäisen alkuluvun summa on alkuluku.
213. Juhani Heino25.8.2009 klo 19:43
Huomasin että puolitäydellisillä ja tosiegyptiläisillä luvuilla on yhteys. Muistanette että neliöt ovat aina egyptiläisiä lukuja. Otetaan puolitäydellinen luku, vaikkapa 6. Siitä syntyy summa 6+6+6+6+6+6. Katsotaan millä tavalla tekijät muodostavat summan 6. Se on 1+2+3. Yhdistetään termit näiden mukaisesti, ja koska ne ovat eri tekijöitä, saadaan toisistaan eroavat yksikkömurtoluvut eli niitä vastaava summa on tosiegyptiläinen. Tässä tapauksessa 1/6 + 2/6 + 3/6 eli 1/6 + 1/3 + 1/2, luvuiksi tulevat siis tutut 2,3,6.Otetaan vielä esimerkki 36. Siitä saadaan tällaiset:
12+9+6+4+3+2 -> 3,4,6,9,12,18, summa 52
18+9+4+3+2 -> 2,4,9,12,18, summa 45
18+9+6+2+1 -> 2,4,6,18,36, summa 66
18+12+3+2+1 -> 2,3,12,18,36, summa 71
Lisäksi on vielä muutama yhdistelmä jotka supistuvat samoiksi kuin pienemmillä luvuilla saadut.
Muunnos toimii myös toiseen suuntaan - kun otetaan tosiegyptiläisestä osalukujen pym (pienin yhteinen monikerta), saadaan puolitäydellinen luku.
214. Olavi Kivalo27.8.2009 klo 16:12
Nopeasti vilkaisten puolitäydelliset synnyttävät jokaisen tosiegyptiläisen. Enpä ryhtynyt etsimään todistusta. Tällä tavoin määriteltynä ykkönen ei olisi tosiegyptiläinen.
215. Jaska27.8.2009 klo 21:31
Ei liene vielä ollut framilla seuraava simppelihkö(n näköinen):1, 2, 3, 4, 6, 11, 17, 23, 27,?
216. Juhani Heino27.8.2009 klo 21:41
Oletetaan että tosiegyptiläinen luku on löydetty jollain muulla keinolla. Osaluvut tiedetään, muutenhan emme voisi todistaa tosiegyptiläiseksi. Otetaan niistä pym ja kerrotaan kaikki murtoluvut sillä. Esimerkkinä 24 = 2+4+6+12. Pym on 12 eli sillä kerrotaan 1/2, 1/4, 1/6 ja 1/12. Saadaan 6, 3, 2 ja 1. Niiden summa on tietenkin kyseinen pym, ja ne kaikki ovat sen tekijöitä. 12 on siis puolitäydellinen, ja tämä yhdistelmä on yksi niistä jotka siitä saadaan.Sama pätee kaikille tosiegyptiläisille luvuille.
Ykkönen riippuu vähän siitä miten määrittelee. Mulle yhtä luonteva jako olisi myös se että kaikki termit otetaan kerralla, ylläolevassa esimerkissä siis 12/12 eli 1. Se toimii triviaalisti kaikilla luvuilla joten en maininnut sitä aluksi.
217. Olavi Kivalo27.8.2009 klo 23:11
Jos oletetaan, että Jaskan jonosta puuttuu 19 ja ykkösen paikalle kuuluu 0, niin a(n) on n!:n niiden jakajien lukumäärä, jotka ovat vierekkäisiä. Esim. a(5) = 6, koska 5!:n vierekkäiset jakajat ovat 1,2,3,4,5 ja 6.
218. Jaska27.8.2009 klo 23:28
Ei kuulu 19 jonooni. Jatkuu 29, 35, 41,?
219. Jaska28.8.2009 klo 12:00
Lisävinkki: jonon jatkossa on vain parittomia lukuja.
220. Jaska28.8.2009 klo 20:17
Eihän tästä tule mitään, kun ei jaksa olla tarkkana. Välistä putosi 37. Jono uudelleen alusta, ja jatketaan niin pitkään, että sääntö varmasti selviää.1, 2, 3, 4, 6, 11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 51, 57, 59, 65, 67, 71, 77, ?
221. Jaska28.8.2009 klo 23:17
Häippäsen huomenna viikoksi. Kukaan ei ole tainnut syventyä jonooni, joten kai sama, vaikka ilmoitan ratkaisun nyt. Jonossa ovat kokonaisluvut, jotka eivät voi olla kahden eri alkuluvun summia. Kuuden jälkeen eivät parilliset siis täytä ehtoa. Löytyykö elegantti todistus?
222. Antti29.8.2009 klo 14:31
Kiitos, Jaska, hyvästä jonotehtävästä. Kaikkea hyvää matkallesi.
223. Antti29.8.2009 klo 15:14
1, 4, 11, 20, 31, 44, 61 ?
224. Olavi Kivalo29.8.2009 klo 22:42
Jaskan jono on hyvä, koska ei esiinny lukujonojen on-line encyclopediassa.
225. Olavi Kivalo29.8.2009 klo 23:05
Tämäkään ei esiinny 24, 30, 54, 60, 66, 80 ?
226. Antti30.8.2009 klo 05:28
Antin jono ei ole hyvä, koska esiintyy lukujonojen on-line encyclopediassa. Neliöitä 8-järjestelmässä.
227. Antti1.9.2009 klo 13:05
Yritetään parempaa:1,-5,-4,-3,12,13,28,29, ?
228. Olavi Kivalo1.9.2009 klo 18:01
Jaskan lukujonosta puuttuvat kaikki parilliset 6:n jälkeen. Näin tulee olla ja se seuraa siitä, että jokainen parillinen luku, joka on kuutosta suurempi, voidaan kirjoittaa kahden parittoman alkuluvun summana. Tämä on Goldbachin otaksuma, jota ei ole todistettu, mutta näyttää numeerisesti pitävän paikkansa (mikä ei ole mikään elegantti todistus). Jaskan jonosta puuttuu 53, joka voitaneen panna helmitaulun piikkiin. Lukujono jatkuu näin
1, 2, 3, 4, 6, 11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 51, 53, 57, 59, 65, 67, 71, 77, 79, 83, 87, 89, 93, 95, 97, 101, 107, 113, 117, 119, 121, 123, 125, 127, 131, 135, 137, 143, 145, 147, 149, 155, 157, 161, ...
229. Olavi Kivalo5.9.2009 klo 10:30
Yllä antamani lukujono 24, 30, 54, 60, 66, 80 ? rakentuu puolitäydellisten ja tosiegyptiläisten väliselle yhteydelle. Olen sitä mieltä, että tämän yhteyden havaitseminen ansaitsee vielä ainakin yhden messun. Nimittäin vasta kaksi vuotta sitten eräs ranskalainen matematiikan harrastaja esitti teoreeman (minun suomennokseni ja yksinkertaistukseni) "Jokainen tosiegyptiläinen tuottaa puolitäydellisen, ja kääntäen, jokainen puolitäydellinen tuottaa tosiegyptiläisen" ja uskoo, että tätä ei ole esitetty aiemmin kirjallisuudessa.
230. jh5.9.2009 klo 14:26
Saatoin olla sitten lähellä oikeaa. Huomasin että luvut ovat ainakin puolitäydellisiä, ja tutkin siltä kantilta. 24 ja 30 osoittavat muunnoksessa tavallaan itseensä:24 = 2+4+6+12
30 = 2+3+10+15
Huomatkaa kuinka luku jaettuna osaluvulla tuottaa toisen osaluvun:
24/2 = 12
24/4 =6
30/2 = 15
30/3 = 10
Mutta lukua 54 en enää saanut toimimaan noin. Eli jotain muuta ilmeisesti haetaan.
231. Olavi Kivalo5.9.2009 klo 20:23
Tämä on sen verran simppeli jono, ettei kannata enää arvuutella. Se on puolitäydellisten tosiegyptiläisten jono. Luvusta 80 lähtien jono jatkuu kuten puolitäydellisten jono eli 24, 30, 54, 60, 66, 80, 84, 88, 90, 96, 100, ..., koska luvusta 78 lähtien kaikki luvut ovat tosiegyptiläisiä.
232. Juhani Heino6.9.2009 klo 22:05
Hemmetti, jonossa ei ollut mitään vikaa, mutta ei vain sytyttänyt. Olisi pitänyt katsoa kuinka harvassa tosiegyptiläiset ovatkaan ennen lukua 78.Pyydän Antilta vinkkiä: ovatko jonon luvut pareittain?
Ja vielä toinen arvaus: ovatko ne koordinaattipisteitä?
233. Antti7.9.2009 klo 04:26
Joskus kaikki ei mene odotetusti. Juhani, luvut eivät ole pareittain, vaikka jonon alkupäässä on mukana kaksi peräkkäisten kokonaislukujen paria. Eivät luvut myöskään ole koordinaatteja. Piti keksiä jono-ongelma, jonka ratkaisua ei saa työkaluilla suoraan.
234. Olavi Kivalo8.9.2009 klo 09:24
Parempia ideoita odotellessa:1,-5,-4,-3,12,13,28,29,40,...
235. Olavi Kivalo8.9.2009 klo 09:25
Sori, tarkoitin 1,-5,-4,-3,12,13,28,29,44,...
236. Antti8.9.2009 klo 09:44
Olavi, samaan osuimme. Haluatko kertoa, miten?
237. Olavi Kivalo8.9.2009 klo 15:41
Kerron toki kunhan keksin, kuinka kertoa se riittävän elegantisti.
238. Antti8.9.2009 klo 16:21
Olavi, jononi säännön ilmaiseminen ei säännön löytänyttä mielestäni paljon mietitytä. Kysynkin, onko jonossasi 44:n jälkeen joku muu luku kuin minulla, 73?
239. Juhani Heino8.9.2009 klo 20:13
Olavi ehkä päätyi alustavasti samaan kuin mä, jolloin 44:n jälkeen tulisi 45 ja 60. Jonon alkuun en saanut sitä sovitettua, ja hyvä etten yrittänytkään sen enempää.
240. Olavi Kivalo8.9.2009 klo 20:41
Tässäpä elegantin näköinen vaan ei elegantti ratkaisu:a(n) = 8n - 7k(n).
Valitsemalla k(n):lle kokonaislukuarvoja väliltä 1...5, saadaan lukujonojen joukko, johon myös Antin antama kuuluu.
Esim. jaksollinen k(n) = 1,3,4,5,4,5,4,5,4,1,3,4,5,4,5,4,5,4,... antaa a(n) = 1,-5,-4,-3,12,13,28,29,44,73, jne.
241. Jaska8.9.2009 klo 23:23
Antilla oli hirmuvaikea. Vastapainoksi aika simppeli, siis lienee helpohko jatkaa. Niinpä annankin vain muutaman alkupään luvun. Lisäpojoja tästä: miten jono liittyy alkutekijöihin?1, 4, 14, 50, 182, 672, ?
242. Antti9.9.2009 klo 06:36
Olavi, jonossasi seuraava on 67, jonossani 74. Miten jononi liittyy alkulukuihin?
Jaska, onko seuraava luku 1262?
243. Olavi Kivalo9.9.2009 klo 10:28
Valitsemalla k(n) = 1,3,4,5,4,5,4,5,4,1,2,... , saadaana(n) = 1,-5,-4,-3,12,13,28,29,44,73,74,...
Katsotaan vielä tätä linkkiä alkulukuihin.
244. Jaska9.9.2009 klo 11:55
Antti, seuraava luku on 2508. Helpottanee, että ykkösen jälkeen jonossa on määrätyt lisäkombinaatiolukumäärät. Olikohan riittävän epäselvästi muotoiltu.
245. Antti9.9.2009 klo 13:20
Jaska, kerron, kuinka arvaukseni sain. Jos k(n) = n:s alkuluku jaa(n) = 55*k(n)*n - 22*(k(n))^2 +26*n^3 - 243*n^2 + 122*k(n)
+344*n - 418,
silloin a(1), ...,a(10) on meillä sama ja a(11) = 1262.
Arvelinkin kaavasi tätä yksinkertaisemmaksi.
246. Antti9.9.2009 klo 13:50
Jaska, ratkaisu näkyy olevankombinaatiot(2*n,n) - kombinaatiot(2*n-2,n-1).
2508:aa seuraa 9438.
247. Matti9.9.2009 klo 17:18
Tuo Antin kaava a(n):lle on kyllä varsin mykistävä. En olisi hoksannut.
248. Antti9.9.2009 klo 17:44
Matti, 9.9.2009 klo 13:20 kaavan löysin Excelillä kokeillen,9.9.2009 klo 13:50 kaavan sain tällä palstalla esitellystä lähteestä.
249. Jaska9.9.2009 klo 17:45
Näin on, Antti. Tämähän on varsin banaalia Pascalin kolmiosta ynnäiltyä kombinatoriikkaa. Ensin ajattelin panna jonon 1, 5, 19, 69, 251, 923 jne, mutta päädyin hieman vaikeammin hahmotettavaan erotusjonoon. Mutta mikä on näihin liittyvä alkutekijöiden = alkulukujen kombinointiin liittyvä sääntö?
250. Matti9.9.2009 klo 20:05
Olen taas hetken tosikko. Antin a(n)-lauseke epäilemättä sisälsi kymmenen parametriä, jotka Excelillä asettuivat siten, että vastaavuus Jaskan kymmenen luvun kanssa syntyi. Olisi myös voitu laskea kertoimet yhdeksännen asteen polynomille siten, että sama vastaavuus olisi saatu aikaiseksi polynomin perättäisillä kokonaislukuarvoilla.Ratkaisuehdotuksen pitää olla sellainen, että se konstruoidaan ilman että viimeistä annettua lukua käytetään hyväksi. Se viimeinen käytetään sitten yritelmän testaamiseen.
251. Antti9.9.2009 klo 21:29
Kiitos, Matti, sanoistasi.
252. Olavi Kivalo10.9.2009 klo 10:29
Kerrotko viimein Antti, mikä on jonon a(n) = 1,-5,-4,-3,12,13,28,29,44,73,74,... yhteys alkulukuihin?
253. Antti10.9.2009 klo 11:20
k(n) = n:s alkuluku jaa(n) = 7*k(n) - 13*n
254. Jaska10.9.2009 klo 12:56
Ahaa! Tuohon verrattuna minun jononi relaatio alkutekijöihin lienee yksinkertaisempi, vaikka muotoiluni ei mahdollisesti tue tätä olettamusta.Jono 1, 5, 19 jne: maksimaalisesti kuinka monta lukua (alkulukua ja jaollista lukua yhteensä) saadaan alkulukutekijöiden kombinaatioista, kun eri alkulukutekijöiden lukumäärä ryhmässä on 1, 1 tai 2, 1-3, 1-4 jne.
Erotusjono 1, 4, 14 jne: kuinka monta uutta lukua jne, kun ryhmään sisältyvät kaikki vähemmän alkutekijälukuja sisältävät ryhmät, esim. suuruusjärjestyksen mukaisesti.
2 -> 2
2, 3 -> (2), 3, 4, 6, 9
2, 3, 5 -> (2, 3, 4, 6, 9), 5, 8, 10, 12, 15, 18, 20, 25, 27, 30, 45, 50, 75, 125
jne
255. Jaska10.9.2009 klo 13:12
No eihän se tukenutkaan. 1, 5, 19 jne pitää kuulua:...lukumäärä ryhmässä on 1, 2, 3, 4 jne, ja ne kombinoidaan yksittäin, kaksittain, kolmittain, nelittäin jne. Kai tuosta nyt ilmenee yhden kombinaation alkutekijämäärä maksimissaan, ja että sama tekijä voi esiintyä useammin kuin kerran.
256. Olavi Kivalo10.9.2009 klo 16:13
Olin vähän metsässä, koska en kytkenyt termiä k(n) alkulukuihin. Ratkaisuehdotukseni a(n)=8n-7k(n) on oikea niin kauan kun k:n lainalaisuudesta ei sanota mitään lopullista. En kuitenkaan kyennyt keksimään Antin määrittelemää kaavaa, joka on siis k(n)=3n-p(n), jossa p(n) on n:s alkuluku. Kun tuo sijoitetaan omaani, saadaan a(n)=8n-7k(n) = 8n-7(3n-p(n)) = 7p(n)-13n. Väitteeni, että Antin jono saadaan valitsemalla k:lle sopiva kokonaisluku 1...5 oli hätäinen arvaus ja pätee vain termiin a(11) saakka. Sen jälkeen k:t ovat negatiivisia.
257. Olavi Kivalo10.9.2009 klo 16:16
Tosiaankin, lukujonoa k(n) = 1,3,4,5,4,5,4,5,4,1,2,... ei löydy OEIS-kirjastosta.
258. Antti11.9.2009 klo 14:41
Lukunelikon muodostaa neljä peräkkäistä kokonaislukua.Lukujen tulo on jaollinen lukujen summalla.
Pienin luku > 30.
Hae ainakin yksi tällainen nelikko.
259. Antti11.9.2009 klo 15:07
Korjaan: Pienin luku > 3.
260. Jaska11.9.2009 klo 18:39
182:n alkutekijät 2, 7, 13, jotka löytyvät myös peräkkäisistä 39-42. Annapa Antti vaikkapa kymmenen ekaa lukua, alkaen siis 18:sta!
261. Jaska11.9.2009 klo 23:56
Niin, edellinen oli multiplikaattisesti osuva, mutta valitettavasti päässäyhteenlaskussa tuli kumma kämmi. Summahan on 162. Unohdetaan tuo vähin äänin. Ehkä oikeatkin lukemat tulevat yöllä alitajuisesti...
262. Olavi Kivalo12.9.2009 klo 10:00
Antti, todistaistko ensin, että tällaisia nelikoita on olemassa? Säästyisi vaivaa.
263. Jaska12.9.2009 klo 10:21
Heps, eihän Antti voi sitä tehdä. Nimittäin jos voin todistaa olettamukseni mahdottomuuden todistettavuudesta. 3, 4, 5, 6 on siis ainoa mahdollinen nelikko. Odotetaan nyt kuitenkin ensin Antin vastakkaista todistusta.
264. Olavi Kivalo12.9.2009 klo 15:06
Ehkä sellainen nelikko n,n+1,n+2,n+3 on olemassa, mutta n:n on oltava suurempi kuin 10^9. Loppuu helmet taulusta.
265. Antti12.9.2009 klo 18:15
Pyydän anteeksi. Olin laskenut summan 12+13+14+15 ja tarkoitin laskea tuloa 12*13*14*15, mutta vahingossa laskin tulon12*13*15*15, joka on summalla jaollinen. Siis ongelmani ei näin ratkennut eikä tietämänne mukaan muutenkaan ratkea.
266. Olavi Kivalo12.9.2009 klo 18:41
Pannaan (k)uusiksi. Lukukuusikon muodostaa kuusi peräkkäistä kokonaislukua.Lukujen tulo on jaollinen lukujen summalla.
Hae kaikki tällaiset kuusikot.
267. Jaska12.9.2009 klo 19:30
Saman numerimäärän käsittävien peräkkäisten numeroiden ryhmät noudattavat omaa jaksollisuuttaan, joten ko. ehdon mahdollisuuden tai mahdottomuuden todistaminen edellyttää sitä suppeampaa otosta, mitä vähemmän numeroita on ryhmässä. Nelikoilla jaksot ovat lyhyitä, joten muiden kuin 3, 4, 5, 6 nelikkojen mahdottomuus voitaneen todistaa helposti. Esim. jos summa ei ole jaollinen kolmella, se ei voi täyttää ehtoa, koska jokaisessa nelikossa on yksi tai kaksi kolmella jaollista lukua. Heti voidaan eliminoida myös kaikki nollaan päättyvät summat, koska yhteenlaskettavissa ei voi tällöin olla viidellä jaollista lukua. Jos summassa on suurempi alkutekijä kuin missään nelikon luvussa, se ei täytä ehtoa jne.
Sellainen aavistus minulla on, että eiköhän tämä nelikko-olettamukseni ole matemaatikoille entuudestaan tuttu ja todistettu. Ja kaksikkojen mahdottomuuden toteamiseenhan ei tarvitse edes olla matemaatikko!
268. Antti12.9.2009 klo 19:38
Tässä yksi: 5. 6. 7. 8. 9. 10.
269. Olavi Kivalo12.9.2009 klo 23:00
Siinä on yksi. Muut?
270. Jaska13.9.2009 klo 00:38
Intuitiivisesti tuntuu siltä, että ainakin jotkin viidellä jaolliset summat. 10, 11, 12, 13, 14, 15 = 75 ja 15, 16, 17, 18, 19, 20 =105 ensi hätään.
271. Antti13.9.2009 klo 06:31
Kolmen ratkaisukuusikon pienin: 5, 10, (ei 15,) 35.
272. Olavi Kivalo13.9.2009 klo 08:50
Kas siinä ovat kaikki kuusikot ainakin väliltä n=1...10^5. Ja mikäli Jaskan aiempaan todisteluun on uskominen, siinä ovat kaikki.
273. Jaska13.9.2009 klo 11:19
On sitä vaan sokea omille virheilleen. Eihän 15-20:ssa ole yhtään seitsemällä jaollista.6, 12, 15, 21, 24, 33, 39, 42, 48, ?
274. Jaska15.9.2009 klo 12:31
Kas, ei niinkään yllättäen on ylläolevassa järkyttävä huolimattomuusvirhe. 30 puuttuu välistä rytmin rikkoen. Korjattu jonon alku on absoluuttisesti oikea ja siten niin helppo jatkaa, etten sitä kysykään. Joku kuitenkin halunnee paljastaa jonon idean?6, 12, 15, 21, 24, 30, 33, 39, 42, 48, 51, 57, 60...
275. -15.9.2009 klo 13:03
heh
276. Antti15.9.2009 klo 13:10
a(1) = 6,a(2) = 12
a(n) = a(n-2) + 9, kun n = 3, 4, ...
277. Jaska15.9.2009 klo 13:39
Antti, miten jono liittyy edeltävään keskusteluun?
278. Antti15.9.2009 klo 13:51
Jaska, pinnistelin vain jonon säännön löytääkseni. Sen vuoksi sinä olet minua soveliaampi kertomaan, miten jono liittyy edeltävään keskusteluun.
279. Olavi Kivalo15.9.2009 klo 16:56
Jaskan jono voisi olla niiden RATS-sekvenssien, joiden jakso on 8, ekalukujen (n>3) muodostama jono riippuen kuinka Jaskan jono jatkuu. (RATS=Reverse, Add To the original, and then Sort the Digits)
280. Jaska15.9.2009 klo 17:56
Arvelinkin, että näin säännöllisellä jonolla on muitakin tulkintoja ja ratkaisuja kuin minun tarkoittamani.Edeltävä aihe on siis Antin 11.9. aloittama peräkkäisten lukujen tulon jaollisuus niiden summalla. Jonossani on jaollisuuden ehdon täyttävien kolmikkojen lukujen summat. Joka kolmas summa 9:stä alkaen ei siis täytä ehtoa.
Kaikilla parittomien peräkkäisten määrillä ehdon täyttävät jonot ovat äärettömän pitkiä.
281. Olavi Kivalo15.9.2009 klo 20:29
Toisin sanoen jono on kolmella jaottomien lukujen (n>1) jono kukin luku kerrottuna kolmella, ts. muodostuu luvuista, jotka ovat muotoa 9n+3, n>0 tai 9n+6, n>=0.
282. Antti18.9.2009 klo 12:12
1, 10, 21, 34, 51, 70, 111, 134, 161, ?
283. Jaska18.9.2009 klo 14:20
Eipä ainakaan kovin pikaisesti ratkea Antin jono, vaikka siltä ensin näytti. Panen vertailun vuoksi omani, ovat ehkä osin samaan ideaan perustuvia?1, 10, 21, 34, 51, 70, 91, 114, 141, ?
284. Olavi Kivalo18.9.2009 klo 21:53
Jaskan jonon peräkkäisten lukujen erotukset ovat esim. parittomia ja vituraisella jaottomia, mutta myös monia muita. Jatko voi olla näinollen vaikkapa 170, 201, 234, 271, 310,... tai jotain muuta. (Olipa tylsä vastaus.)
285. Olavi Kivalo18.9.2009 klo 21:58
Olisiko Antin jonossa 20:n vaihesiirto?
286. Jaska19.9.2009 klo 00:06
Olavi Kivalo jatkoi jonoani niin kuin tarkoitin. Peräkkäisten kokonaislukujen neliöt + vaiheittain neljän ryhmissä (kirjoitin ensin tyhmissä, mikä saattaa olla sekin oikein) kasvavat erotukset 6, 8, 10, 12 jne:1+0, 4+6, 9+12, 16+18
25+26, 36+34, 49+42, 64+50
81+60, 100+70, 121+80, 144+90
169+102, 196+114 jne.
287. Antti19.9.2009 klo 06:29
Olavi, en ole tarkoittanut ihan niin, mutta polttaa, polttaa!
288. Antti25.9.2009 klo 10:54
Jaakon jono, 1, 10, 21, 34, 51, 70, 91, 114, 141,eroaa jonostani, 1, 10, 21, 34, 51, 70, 111, 134, 161,
70:n jälkeen 20:llä. Onkohan tähän pujahtanut jotakin sotkua, kun jonokseni olen tarkoittanut seuraavan
a(n) = n^2 + 4*n - 4 kahdeksanjärjestelmän lukuna.
[Muutoin kahdeksan = kahta pienempi dekasta
ja samoin yhdeksän = yhtä pienempi dekasta,
sanoi Päivö Oksala, latinan professori.
Jatkan: Unkarin 1, 2, .., 7 kukin muistuttaa suomen vastinettaan ainakin yhden kirjaimen osalta,
egy (g ~ k), két, három, négy, öt (viitisen), hat (kuutisen), hét,
mutta 8, 9 ei muistuta, nyolc, kilenc.]
289. Jaska25.9.2009 klo 12:35
Antin jonon seuraava luku on siis 207. Kymmenjärjestelmän vastaavat kymmenen ensimmäistä lukua:1, 8, 17, 28, 41, 56, 73, 92, 113, 135.
Olisi siis ollut perin helppo jatkettava kymmenjärjestelmässä erotusten kasvaessa lineaarisesti kahdella.
En näe omassa enkä Antin jonossa mitään sotkua. En vain tullut ajatelleeksi, että jonojemme yhteneväisyyden päättyminen hyppäykseen 70:stä 111:een viittaa eri lukujärjestelmään. Annan tästä itselleni piiitkän miinuksen, koska Antti on ennenkin esittänyt 8-järjestelmän jonon. Silloin en mennyt lankaan.
290. Antti25.9.2009 klo 12:39
Jaska, eikö jononi seuraava ole 210?
291. Jaska25.9.2009 klo 12:52
Joo, 210. Jostain syystä kömmähdin kymmenjärjestelmän päässälaskussa 113 + 23 = 136, ei 135.
292. Olavi Kivalo26.9.2009 klo 16:53
Jaskan jonolle ei ole vastaavaa eleganttia ratkaisua suljetussa muodossa kuin Antin jonolle. Rekursiivisia kaavoja sen sijaan on useitakin, esim. a(1) = 1
a(n+1) = a(n) + 2n + 1 + 2*Floor[(n + 12)/4]], n=1,2,3,...
293. Antti27.9.2009 klo 07:03
a(j) =j^3, j = 1, 2, 3, ...{b(j)}= 1, 4, 3, 2, 5, 24, 1, 2, 729, ?
b(j) on a(j):n ja x(j):n suurin yhteinen tekijä.
x(j) = ?
294. Olavi Kivalo27.9.2009 klo 11:17
Palaan vielä tuohon Jaskan jonoon, kun kerran ryhdyin sitä työstämään. Eräs ratkaisu suljetussa muodossa, vaan ei elegantti, on:a(n) = n^2 + 6(n - 1) + b(n), jossa
b(n) = 2Floor[(n - 1)/4]*(2Floor[(n - 1)/4] + (n - 1)mod4] - 1)
(Floor[x/y] on suurin kokonaisluku, joka ei ole suurempi kuin x)
Olisi kiva tietää kuinka Jaska päätyi tuohon jonoon, jos tarkoitus ei ollut luoda jonoa, jossa perättäisten lukujen erotukset ovat parittomia ja viidellä jaottomia.
295. Jaska27.9.2009 klo 13:33
Jonoon päätymiseni selitys on sama, jonka jo ehkä liian epämääräisesti kerroin. Yritin siis selvittää Antin jonoa, ja havaitsin siinä itselleni ymmärrettävän säännönmukaisuuden 70:een saakka. Siitä jatkoin omaa jo selittämälläni tavalla yrittämättä saattaa sitä jonkin eksaktin kaavan muotoon. Antin syt-probleemi menee paljon ja korkealta yli hilseen. Kuten ykkönen syt:nä = ratkaisujen määrä ääretön.
296. Olavi Kivalo27.9.2009 klo 18:15
Lienenkö ymmärtänyt Antin tehtävän aivan väärin. Näyttää siltä, että yksinkertaisesti x(j) = b(j), ja b(j):n jatko on näinollen yhtä yksinkertaisesti 1000.
297. Antti27.9.2009 klo 18:30
Näin yksinkertaista ratkaisua en huomannut ajatella, vaan tarkoitin sellaista, jossa x(j) voidaan ilmaista yksinkertaisena j:n funktiona.
298. Antti28.9.2009 klo 05:16
..., j:n esimmäisen asteen polynomina.
299. Olavi Kivalo28.9.2009 klo 23:30
Odotteles Antti vielä vähän.
300. Antti29.9.2009 klo 07:19
Luottavaisesti odottelen Olavi. Sinua ja taidollisuuttasi vähän jo tunnen, hae ratkaisu kaikessa rauhassa. Saa sen toinenkin ilmoittaa, jos ensin ehtii.
301. Olavi Kivalo29.9.2009 klo 09:00
Lineaari sovitus antaa esim.x(j)=1, 92, 183, 274, 365, 456, 547, 638, 729, 740,...
b(j):n jatko on 1.
Mutta ratkaisuja on loputon määrä.
302. Antti29.9.2009 klo 12:13
740:n paikalla kuuluu olla 820.Olavin ratkaisu x(j) = 91*j - 90 on hyvä.
Toinen ratkaisu, eräs monista, on x(j) = 11*j - 10.
303. Olavi Kivalo29.9.2009 klo 12:56
Tulipa laskuvirhe. Siis 820. Ja b(j) = 1,4,3,2,5,24,1,2,729,20,1,6,1,8,75,2,1,36,1,10...
304. Olavi Kivalo29.9.2009 klo 20:12
Mikähän tämän komman syntyhistoria lienee? Se on sen verran erikoinen, että olisi kiinnostava tietää.Olen skeptinen sen suhteen, että lineaarisia ratkaisuja olisi muita kuin tuo antamani. En ainakaan saa Antin ehdottamaa ratkaisua x(j) = 11*j - 10 toimimaan. Muut kuin tasaväliset jonot antanevat lisää.
305. Jaska29.9.2009 klo 22:54
Antti, liekö kyse lasku- vai lyöntivirheestäsi, mutta tulokset eivät stemmaa jonosi kaikkiin lukuihin. Onko mielestäsi luottaminen siihen, että Olavi Kivalon ratkaisu esittämillesi yhdeksälle ensimmäiselle syt:lle on ainoa mahdollinen?
306. Antti30.9.2009 klo 05:30
Pyydän anteeksi virheeni aiheuttamaa turhaa vaivannäköä. Laskelma syntyi päästettyäni laskelmien johonkin kohtaan väärän luvun ja jätettyäni laskelman tarkistamatta. Excelin ratkaisinta käyttäen en löytänyt muita päteviä ratkaisuja kuin Olavin esittämän.
307. Antti30.9.2009 klo 07:08
Jos tämä edellistä korvaa, voit ratkaista seuraavan virheettömän(?)1, -329, -1661, -3001, 3245, 39071, 151551, 426399, ?
KOMMENTOI